ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-05-06   
Даны два уравнения:

$x^2+ax+1 = 0, x^2+x+a = 0$.

Определить все значения коэффициента $a$, при которых эти уравнения имеют хотя бы один общий корень.


Решение:


Первое решение. Вычислим из второго уравнения коэффициент $а$ и подставим его в первое уравнение. Тогда получим:

$a = -(x^2 + x), x^2 - (x^2 + x)x + 1 = 0, x^3 - 1 = 0, (x-1)(x^2 + x + 1) = 0$.

Отсюда имеем:

$x_1 = 1, x_{2,3} = \frac {-1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

и, следовательно, так как $a = -(x^2 + x)$, то $a_1 = -2, a_{2,3} = 1$.

Второе решение. Используя результат задачи 3018, мы можем утверждать, что, для того чтобы наши уравнения имели хотя бы один общий корень, необходимо и достаточно, чтобы обращалось в нуль выражение

$a^2 + 1 - a \cdot 1(a + 1) + 1 + a^3 - 2a = a^3 - 3a + 2 = (a - 1) (a^2 + a - 2) = (a - 1)^2(a + 2)$.

Отсюда получаем:

$a_1 = -2, a_{2,3} = 1$.