Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3018
2019-05-06 
Пусть $\alpha$ и $\beta$ - корни уравнения
$x^2+px+q=0$,
a $\gamma$ и $\sigma$ - корни уравнения
$x^2+Px+Q=0$.
Выразить произведение
$(\alpha - \gamma)(\beta - \gamma)(\alpha - \sigma)(\beta - \sigma)$
через коэффициенты данных уравнений.
Решение:
Если $\alpha$ и $\beta$ - корни уравнения
$x^2 + px + q = 0$,
то
$(x -\alpha) (x - \beta) = x^2 + px + q$.
Следовательно,
$(\alpha - \gamma) (\beta - \gamma) (\alpha - \sigma) (\beta - \sigma) = [(\gamma - \alpha)(\gamma - \beta)][(\sigma - \alpha)(\sigma - \beta)] = (\gamma^2 + p \gamma + q)(\sigma^2 + p\sigma + q)$.
Но
$\gamma + \sigma = - P, \gamma \sigma = Q$
и, значит,
$(\alpha - \gamma) (\beta - \gamma) (\alpha - \sigma) (\beta - \sigma) = \gamma^2 \sigma^2 + p \gamma^2 \sigma + q \gamma^2 + py \sigma^2 + p^2 \gamma \sigma + pq \gamma + q \sigma^2 + pq \sigma + q^2 = (\gamma \sigma)^2 + p \gamma \sigma (\gamma + \sigma) + q [(\gamma + \sigma)^2 - 2 \gamma \gamma^2 \sigma^2 + p \gamma^2 \sigma + q \gamma^2 + p\gamma \sigma^2 + p^2\gamma\sigma + pq \gamma + q \sigma^2 + pq \sigma + q^2] + p^2 \gamma \gamma^2\sigma^2 + p\gamma^2\sigma + q\gamma^2 + p\gamma \sigma^2 + p^2\gamma \sigma + pq \gamma + q \sigma^2 + pq \sigma + q^2 + pq (\gamma + \gamma^2 \sigma^2 + p \gamma^2 \sigma + q \gamma^2 + p \gamma \sigma^2 + p^2 \gamma \sigma + pq \gamma + q \sigma^2 + pq \sigma + q^2) + q^2 = Q^2 - pPQ + q(P^2 - 2Q) + p^2Q - pqP + q^2 = Q^2 + q^2 - pP (Q + q) + qP^2 + p^2Q - 2qQ$.
Пусть $\alpha$ и $\beta$ - корни уравнения
$x^2+px+q=0$,
a $\gamma$ и $\sigma$ - корни уравнения
$x^2+Px+Q=0$.
Выразить произведение
$(\alpha - \gamma)(\beta - \gamma)(\alpha - \sigma)(\beta - \sigma)$
через коэффициенты данных уравнений.
Решение:
Если $\alpha$ и $\beta$ - корни уравнения
$x^2 + px + q = 0$,
то
$(x -\alpha) (x - \beta) = x^2 + px + q$.
Следовательно,
$(\alpha - \gamma) (\beta - \gamma) (\alpha - \sigma) (\beta - \sigma) = [(\gamma - \alpha)(\gamma - \beta)][(\sigma - \alpha)(\sigma - \beta)] = (\gamma^2 + p \gamma + q)(\sigma^2 + p\sigma + q)$.
Но
$\gamma + \sigma = - P, \gamma \sigma = Q$
и, значит,
$(\alpha - \gamma) (\beta - \gamma) (\alpha - \sigma) (\beta - \sigma) = \gamma^2 \sigma^2 + p \gamma^2 \sigma + q \gamma^2 + py \sigma^2 + p^2 \gamma \sigma + pq \gamma + q \sigma^2 + pq \sigma + q^2 = (\gamma \sigma)^2 + p \gamma \sigma (\gamma + \sigma) + q [(\gamma + \sigma)^2 - 2 \gamma \gamma^2 \sigma^2 + p \gamma^2 \sigma + q \gamma^2 + p\gamma \sigma^2 + p^2\gamma\sigma + pq \gamma + q \sigma^2 + pq \sigma + q^2] + p^2 \gamma \gamma^2\sigma^2 + p\gamma^2\sigma + q\gamma^2 + p\gamma \sigma^2 + p^2\gamma \sigma + pq \gamma + q \sigma^2 + pq \sigma + q^2 + pq (\gamma + \gamma^2 \sigma^2 + p \gamma^2 \sigma + q \gamma^2 + p \gamma \sigma^2 + p^2 \gamma \sigma + pq \gamma + q \sigma^2 + pq \sigma + q^2) + q^2 = Q^2 - pPQ + q(P^2 - 2Q) + p^2Q - pqP + q^2 = Q^2 + q^2 - pP (Q + q) + qP^2 + p^2Q - 2qQ$.
