Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3017
2019-05-06 
Доказать, что если $x_1$ - корень уравнения
$ax^2+bx+c=0$, (1)
а $x^2$ - корень уравнения
$-ax^2+bx+c=0$, (2)
то найдется промежуточный между ними корень $x_3$ уравнения
$\frac{a}{2} x^2 + bx + c = 0$, (3)
т. е. такой, что либо $x_1 \leq x_3 \leq x_2$, либо $x_1 \geq x_3 \geq x_2$.
Решение:
Исключим из рассмотрения мало интересный случай $a = 0$, когда три уравнения (1), (2) и (3) являются уравнениями 1-й степени, т. е. имеют единственный корень каждое, и все совпадают между собой (здесь $x_1 = x_2 = x_3$), а также случай, когда, скажем, $c = 0$ и наши три уравнения имеют корни $\left ( - \frac{b}{a}, 0 \right ), \left ( \frac{b}{a}, 0 \right )$ и $\left (- \frac{2b}{a}, 0 \right )$ - здесь корень $x_3 = 0$ уравнения (3) заключен между любым корнем уравнения (1) и любым из корней уравнения (2)).
Далее, если $ax_1^2 + bx_1 + c = 0$, то
$\frac{a}{2} x_1^2 + bx_1 + c = (ax_1^2 + bx_1 + c) - \frac{a}{2} x_1^2 = - \frac{a}{2} x_1^2$;
аналогично, если $- ax_2^2 + bx_2 + c = 0$, то
$\frac{a}{2} x_2^2 + bx_2 + c = - ax_2^2 + bx_2 + c + \frac{3}{2} ax_2^2 = \frac{3}{2} ax_2^2$.
Следовательно, величины $\frac{a}{2} x_1^2 + bx_1 + c \left ( = - \frac{1}{2} ax_1^2 \right)$ и $\frac{a}{2} x_2^2 + bx_2 + c \left ( = \frac{3}{2} ax_2^2 \right )$ имеют разные знаки. Но это означает, что точки $(x_1 f(x_1))$ и $(x_2, f(x_2))$ параболы $у = f(x) = \frac{a}{2} x^2 + bx + c$ лежат по разные стороны от оси $x$, откуда и следует, что существует промежуточная между этими точками точка $(x_3, 0)$ параболы, в которой эта кривая пересекает ось $x; x_3$ и есть искомый корень уравнения (3).
Доказать, что если $x_1$ - корень уравнения
$ax^2+bx+c=0$, (1)
а $x^2$ - корень уравнения
$-ax^2+bx+c=0$, (2)
то найдется промежуточный между ними корень $x_3$ уравнения
$\frac{a}{2} x^2 + bx + c = 0$, (3)
т. е. такой, что либо $x_1 \leq x_3 \leq x_2$, либо $x_1 \geq x_3 \geq x_2$.
Решение:
Исключим из рассмотрения мало интересный случай $a = 0$, когда три уравнения (1), (2) и (3) являются уравнениями 1-й степени, т. е. имеют единственный корень каждое, и все совпадают между собой (здесь $x_1 = x_2 = x_3$), а также случай, когда, скажем, $c = 0$ и наши три уравнения имеют корни $\left ( - \frac{b}{a}, 0 \right ), \left ( \frac{b}{a}, 0 \right )$ и $\left (- \frac{2b}{a}, 0 \right )$ - здесь корень $x_3 = 0$ уравнения (3) заключен между любым корнем уравнения (1) и любым из корней уравнения (2)).
Далее, если $ax_1^2 + bx_1 + c = 0$, то
$\frac{a}{2} x_1^2 + bx_1 + c = (ax_1^2 + bx_1 + c) - \frac{a}{2} x_1^2 = - \frac{a}{2} x_1^2$;
аналогично, если $- ax_2^2 + bx_2 + c = 0$, то
$\frac{a}{2} x_2^2 + bx_2 + c = - ax_2^2 + bx_2 + c + \frac{3}{2} ax_2^2 = \frac{3}{2} ax_2^2$.
Следовательно, величины $\frac{a}{2} x_1^2 + bx_1 + c \left ( = - \frac{1}{2} ax_1^2 \right)$ и $\frac{a}{2} x_2^2 + bx_2 + c \left ( = \frac{3}{2} ax_2^2 \right )$ имеют разные знаки. Но это означает, что точки $(x_1 f(x_1))$ и $(x_2, f(x_2))$ параболы $у = f(x) = \frac{a}{2} x^2 + bx + c$ лежат по разные стороны от оси $x$, откуда и следует, что существует промежуточная между этими точками точка $(x_3, 0)$ параболы, в которой эта кривая пересекает ось $x; x_3$ и есть искомый корень уравнения (3).
