Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3016
2019-05-06 
Квадратный трехчлен $p(x) = ax^2+bx+c$ таков, что если $|x| \leq 1$, то и $|p(x)| \leq 1$. Доказать, что в таком случае из $|x|$ следует также $|p_1(x)| \leq 2$, где $p_1 (x) = cx^2+bx+a$.
Решение:
Будем считать, что $a \geq 0$ - в противном случае мы заменим многочлен $p(x)$ на (удовлетворяющий тем же условиям) многочлен - $p(x) = - ax^2 - bx - c$. Аналогично будем считать и что $b \geq 0$ - в противном случае мы заменим $p(x)$ на $p(-x) = ax^2 - bx + c$. Подставив теперь значения $x = 1, x = 0$ и $x = - 1$ в неравенство $|p(x)| = |ax^2 + bx + c| \leq 1$, получим
$|a + b + c| \leq 1, |c| \leq 1$ и $|a - b + c| \leq 1$, т. е. $|c| \leq 1$ и $|a + b|\leq 2$, $|a - b| \leq 2$.
Далее, если $c \geq 0$ и, значит, (при $|x| \leq 1$) $0 \leq cx^2 \leq с$, а $- b \leq bx \leq b$, имеем
$p_1x = cx^2 + bx + a \leq c + b + a \leq 1$
и $p_1 (x) = cx^2 + bx + a \geq 0 + (- b) + a = a - b \geq - 2$,
откуда следует, что $|p_1(x)| \leq 2$. Аналогично, при $с \leq 0$, когда $с \leq cx^2 \leq 0$ (и по-прежнему - $b \leq bx \leq b$),
$p_1(x) = cx^2 + bx + a \leq 0 + b + a = a + b \leq 2$ и $p_1(x) = cx^2 = bx + a \geq c + (-b) + a = a - b + c \geq -1$,
откуда вытекает, что и здесь $|p_1(x)|\leq 2$.
Квадратный трехчлен $p(x) = ax^2+bx+c$ таков, что если $|x| \leq 1$, то и $|p(x)| \leq 1$. Доказать, что в таком случае из $|x|$ следует также $|p_1(x)| \leq 2$, где $p_1 (x) = cx^2+bx+a$.
Решение:
Будем считать, что $a \geq 0$ - в противном случае мы заменим многочлен $p(x)$ на (удовлетворяющий тем же условиям) многочлен - $p(x) = - ax^2 - bx - c$. Аналогично будем считать и что $b \geq 0$ - в противном случае мы заменим $p(x)$ на $p(-x) = ax^2 - bx + c$. Подставив теперь значения $x = 1, x = 0$ и $x = - 1$ в неравенство $|p(x)| = |ax^2 + bx + c| \leq 1$, получим
$|a + b + c| \leq 1, |c| \leq 1$ и $|a - b + c| \leq 1$, т. е. $|c| \leq 1$ и $|a + b|\leq 2$, $|a - b| \leq 2$.
Далее, если $c \geq 0$ и, значит, (при $|x| \leq 1$) $0 \leq cx^2 \leq с$, а $- b \leq bx \leq b$, имеем
$p_1x = cx^2 + bx + a \leq c + b + a \leq 1$
и $p_1 (x) = cx^2 + bx + a \geq 0 + (- b) + a = a - b \geq - 2$,
откуда следует, что $|p_1(x)| \leq 2$. Аналогично, при $с \leq 0$, когда $с \leq cx^2 \leq 0$ (и по-прежнему - $b \leq bx \leq b$),
$p_1(x) = cx^2 + bx + a \leq 0 + b + a = a + b \leq 2$ и $p_1(x) = cx^2 = bx + a \geq c + (-b) + a = a - b + c \geq -1$,
откуда вытекает, что и здесь $|p_1(x)|\leq 2$.
