Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3015
2019-05-06 
Квадратный трехчлен $p(x) = ax^2 + bx + c$ таков, что уравнение $p(x) = x$ не имеет (вещественных) корней. Доказать, что тогда и уравнение $p(p(x)) = x$ также не имеет вещественных корней.
Решение:
Так как (квадратное) уравнение $p(x) = ax^2 + bx + c = x$ не имеет вещественных корней, то квадратный трехчлен $p(x) - x = ax^2+(b - 1 )x + c$ при всех $x$ принимает значения одного знака, скажем, $p(x) - x > 0$ при всех $x$. Но в таком случае для любого $x = x_0$ имеем $p(p(x_0)) - p(x_0) > 0$, т. е. $p(p(x_0))> p(x_0)$, и так как, по предположению, $p(x_0) - x_0 > 0$, т. е. $p(x_0)> x_0$, то $p(p(x_0)) > x_0$ и, значит, $x_0$ не может служить корнем уравнения (4-й степени) $p(p(x)) = x$.
Квадратный трехчлен $p(x) = ax^2 + bx + c$ таков, что уравнение $p(x) = x$ не имеет (вещественных) корней. Доказать, что тогда и уравнение $p(p(x)) = x$ также не имеет вещественных корней.
Решение:
Так как (квадратное) уравнение $p(x) = ax^2 + bx + c = x$ не имеет вещественных корней, то квадратный трехчлен $p(x) - x = ax^2+(b - 1 )x + c$ при всех $x$ принимает значения одного знака, скажем, $p(x) - x > 0$ при всех $x$. Но в таком случае для любого $x = x_0$ имеем $p(p(x_0)) - p(x_0) > 0$, т. е. $p(p(x_0))> p(x_0)$, и так как, по предположению, $p(x_0) - x_0 > 0$, т. е. $p(x_0)> x_0$, то $p(p(x_0)) > x_0$ и, значит, $x_0$ не может служить корнем уравнения (4-й степени) $p(p(x)) = x$.
