Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3014
2019-05-06 
Доказать, что многочлен $x^{200}y^{200} + 1$ нельзя представить как произведение $f(x) \cdot g(y)$ двух многочленов: от одного переменного $x$ и от одного переменного $у$.
Решение:
Пусть многочлены $f(x)$ и $g(y)$ имеют свободные члены $a_0$ (т. е. $f(x) \equiv a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n$) и $b_0$. Положим в равенстве $x^{200}y^{200} + 1 \equiv f(x)g(y)$ переменное $x$ равным 0; тогда получим $a_0g(y) \equiv 1$, т. е. $g(y) = \frac{1}{a_0}$; таким образом, $g(y)$ равно $\frac{1}{a_0}$ при всех $у$, т. е. это есть постоянная $\frac{1}{a_0}$ (многочлен нулевой степени). Аналогично доказывается, что $f(x) = \frac{1}{b_0}$, т.е. $f(x) g(y) = \frac{1}{a_0b_0} \neq x^{200}y^{200} = 1$ [ Полученное противоречие и доказывает утверждение задачи.
Доказать, что многочлен $x^{200}y^{200} + 1$ нельзя представить как произведение $f(x) \cdot g(y)$ двух многочленов: от одного переменного $x$ и от одного переменного $у$.
Решение:
Пусть многочлены $f(x)$ и $g(y)$ имеют свободные члены $a_0$ (т. е. $f(x) \equiv a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n$) и $b_0$. Положим в равенстве $x^{200}y^{200} + 1 \equiv f(x)g(y)$ переменное $x$ равным 0; тогда получим $a_0g(y) \equiv 1$, т. е. $g(y) = \frac{1}{a_0}$; таким образом, $g(y)$ равно $\frac{1}{a_0}$ при всех $у$, т. е. это есть постоянная $\frac{1}{a_0}$ (многочлен нулевой степени). Аналогично доказывается, что $f(x) = \frac{1}{b_0}$, т.е. $f(x) g(y) = \frac{1}{a_0b_0} \neq x^{200}y^{200} = 1$ [ Полученное противоречие и доказывает утверждение задачи.
