Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3012
2019-05-06 
Найти все многочлены $P(x)$, для которых справедливо тождество
$xP (x-1) \equiv (x-26) P(x)$.
Решение:
Из выписанного в условии задачи тождества следует, что искомый многочлен $P(x) = P_n(x)$ (где $n$ - степень многочлена) делится на $x$, т. е. $P_n(x) = xP_{n-1}(x)$, где $P_{n-1}(x)$ - какой-то новый многочлен степени $n - 1$. Поэтому
$P(x-1) = (x-1)P_{n-1}(x-1)$,
и, значит,
$x(x-1)P_{n-1}(x-1) = xP(x-1) = (x-26)P(x)$,
в силу чего $P(x)$ делится и на $x - 1$, т. е. $P_n(x) = x(x-1)P_{n-2}(x)$ (на $x-1$ делится многочлен $P_{n-1}(x) = (x-1)P_{n-2}(x)$. Но в таком случае $P(x-1) = (x-1)(x-2)P_{n-2}(x-1)$, и мы получаем:
$x(x-1)(x-2)P_{n-2}(x-1) = (x-26)P_n(x) = (x-26)x(x-1)P_{n-2}(x)$,
- откуда следует, что $P_n(x)$ делится и на $x - 2$ (т.е. $P_{n-2}(x)$ делится на $x - 2$), и, значит, $P_n(x) = x(x-1)(x-2)P_{n-3}(x)$. Подставляя это значение $P(x)$ в исходное соотношение, мы аналогично убеждаемся в том, что $P(x)$ делится и на $x - 3$, т. е. $P_n(x) = x(x-1)(x-2)(x-3)P_{n-4}(x)$, и т. д.
Продолжая поступать таким же образом, мы в конце концов приходим к следующей форме многочлена $P(x)$:
$P(x) = P_n(x) = x(x-1)(x-2)(x-3) \cdots (x-25)P_{n-26}(x)$.
Подставляя в заданное тождество это выражение многочлена $P(x)$, мы получим:
$x(x-1)(x-2) \cdots (x-26)P_{n-26}(x) = (x - 26) x(x - 1) \cdots (x - 25)P_{n - 26} (x)$,
откуда вытекает, что для многочлена $P_{n-26} (x) \equiv Q(x)$ степени $n - 26$
$Q (x-1) \equiv Q(x)$. (*)
Ясно, что если $Q(x) = Q_0(x) = c$ - многочлен нулевой степени (число!), то соотношение (*) имеет место; покажем, что оно имеет место только в этом случае. В самом деле, если $Q(x) = Q_k(x) = a_0x^k + a_1x^{k-1} + \cdots = a_{k-1}x + a_k$, где $k \geq 1$ и $a_0 \neq 0$, то, приравнивая с обеих сторон тождества (*)
$a_0 (x-1)^k + a_1(x-1)^{k-1} + \cdots = a_0x^k + a_1x^{k-1} + \cdots$,
коэффициенты при $x^{k-1}$, в силу формулы бинома Ньютона, получаем:
$ka_0 + a_1 = a_1$ или $a_0 = 0$,
что, однако, противоречит предположению $a_0 \neq 0$. Таким образом, $k = 0, Q(x) \equiv c$ и
$P(x) = cx(x-1)(x-2) \cdots(x-25)$
- многочлен 26-й степени.
Найти все многочлены $P(x)$, для которых справедливо тождество
$xP (x-1) \equiv (x-26) P(x)$.
Решение:
Из выписанного в условии задачи тождества следует, что искомый многочлен $P(x) = P_n(x)$ (где $n$ - степень многочлена) делится на $x$, т. е. $P_n(x) = xP_{n-1}(x)$, где $P_{n-1}(x)$ - какой-то новый многочлен степени $n - 1$. Поэтому
$P(x-1) = (x-1)P_{n-1}(x-1)$,
и, значит,
$x(x-1)P_{n-1}(x-1) = xP(x-1) = (x-26)P(x)$,
в силу чего $P(x)$ делится и на $x - 1$, т. е. $P_n(x) = x(x-1)P_{n-2}(x)$ (на $x-1$ делится многочлен $P_{n-1}(x) = (x-1)P_{n-2}(x)$. Но в таком случае $P(x-1) = (x-1)(x-2)P_{n-2}(x-1)$, и мы получаем:
$x(x-1)(x-2)P_{n-2}(x-1) = (x-26)P_n(x) = (x-26)x(x-1)P_{n-2}(x)$,
- откуда следует, что $P_n(x)$ делится и на $x - 2$ (т.е. $P_{n-2}(x)$ делится на $x - 2$), и, значит, $P_n(x) = x(x-1)(x-2)P_{n-3}(x)$. Подставляя это значение $P(x)$ в исходное соотношение, мы аналогично убеждаемся в том, что $P(x)$ делится и на $x - 3$, т. е. $P_n(x) = x(x-1)(x-2)(x-3)P_{n-4}(x)$, и т. д.
Продолжая поступать таким же образом, мы в конце концов приходим к следующей форме многочлена $P(x)$:
$P(x) = P_n(x) = x(x-1)(x-2)(x-3) \cdots (x-25)P_{n-26}(x)$.
Подставляя в заданное тождество это выражение многочлена $P(x)$, мы получим:
$x(x-1)(x-2) \cdots (x-26)P_{n-26}(x) = (x - 26) x(x - 1) \cdots (x - 25)P_{n - 26} (x)$,
откуда вытекает, что для многочлена $P_{n-26} (x) \equiv Q(x)$ степени $n - 26$
$Q (x-1) \equiv Q(x)$. (*)
Ясно, что если $Q(x) = Q_0(x) = c$ - многочлен нулевой степени (число!), то соотношение (*) имеет место; покажем, что оно имеет место только в этом случае. В самом деле, если $Q(x) = Q_k(x) = a_0x^k + a_1x^{k-1} + \cdots = a_{k-1}x + a_k$, где $k \geq 1$ и $a_0 \neq 0$, то, приравнивая с обеих сторон тождества (*)
$a_0 (x-1)^k + a_1(x-1)^{k-1} + \cdots = a_0x^k + a_1x^{k-1} + \cdots$,
коэффициенты при $x^{k-1}$, в силу формулы бинома Ньютона, получаем:
$ka_0 + a_1 = a_1$ или $a_0 = 0$,
что, однако, противоречит предположению $a_0 \neq 0$. Таким образом, $k = 0, Q(x) \equiv c$ и
$P(x) = cx(x-1)(x-2) \cdots(x-25)$
- многочлен 26-й степени.
