Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3011
2019-05-06 
При делении многочлена $x^{1951} - 1$ на $x^4 + x^3+ 2x^2 + x + 1$ получаются частное и остаток. Найти в частном коэффициент при $x^{14}$.
Решение:
Многочлен $x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 1$ можно разложить на множители; он равен $(x^2 + 1)(x^2 + x + 1)$. Отсюда легко усмотреть, что этот многочлен является делителем многочлена
$x^{12} - 1 = (x^6-1)(x^6 +1) = (x^3 - 1)(x^3+1)(x^2+1)(x^4 - x^2 + 1)$,
а именно:
$x^4+x^3+2x^2+x+1 = \frac {x^{12} - 1}{(x-1)(x^3+1)(x^4-x^2+1)} = \frac {x^{12} - 1}{x^9 - x^7 - x^6 + 2x^5 - 2x^3 + x^2 + x - 1}$.
Разделить $x^{1951} - 1$ на $x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 1$ - это то же самое, что разделить $x^{1951} - 1$ на $x^{12} - 1$, а затем результат помножить на $x^8 - x^7 - x^6 + 2x^5 - 2x^3 + x^2 + x - 1$. Но легко видеть, что
$\frac {x^{1951} - 1}{x^{12} - 1} = x^{1939} + x^{1927} + x^{1915} + x^{1903} + \cdots + x^{19} + x^7 + \frac {x^7 - 1}{x^{12} - 1}$
(в этом легко убедиться, если произвести деление «углом» по правилам деления расположенных многочленов или если заметить, что $x^{1951} - 1 = x^7 [(x^{12})^{162} - 1] + x^7 - 1$ и воспользоваться известной формулой деления разности четных степеней двух одночленов на разность оснований). Отсюда следует, что искомый коэффициент совпадает с коэффициентом при $x^{14}$ в произведении
$\left (x^{1939} + x^{1927} + \cdots + x^{31} + x^{19} + x^7 + \frac {x^7 - 1}{x^{12} - 1} \right ) \times (x^8 - x^7 - x^6 + 2x^5 - 2x^3 + x^2 + x - 1)$
который равен - 1.
При делении многочлена $x^{1951} - 1$ на $x^4 + x^3+ 2x^2 + x + 1$ получаются частное и остаток. Найти в частном коэффициент при $x^{14}$.
Решение:
Многочлен $x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 1$ можно разложить на множители; он равен $(x^2 + 1)(x^2 + x + 1)$. Отсюда легко усмотреть, что этот многочлен является делителем многочлена
$x^{12} - 1 = (x^6-1)(x^6 +1) = (x^3 - 1)(x^3+1)(x^2+1)(x^4 - x^2 + 1)$,
а именно:
$x^4+x^3+2x^2+x+1 = \frac {x^{12} - 1}{(x-1)(x^3+1)(x^4-x^2+1)} = \frac {x^{12} - 1}{x^9 - x^7 - x^6 + 2x^5 - 2x^3 + x^2 + x - 1}$.
Разделить $x^{1951} - 1$ на $x^4 + x^3 + 2x^2 + x + 1$ - это то же самое, что разделить $x^{1951} - 1$ на $x^{12} - 1$, а затем результат помножить на $x^8 - x^7 - x^6 + 2x^5 - 2x^3 + x^2 + x - 1$. Но легко видеть, что
$\frac {x^{1951} - 1}{x^{12} - 1} = x^{1939} + x^{1927} + x^{1915} + x^{1903} + \cdots + x^{19} + x^7 + \frac {x^7 - 1}{x^{12} - 1}$
(в этом легко убедиться, если произвести деление «углом» по правилам деления расположенных многочленов или если заметить, что $x^{1951} - 1 = x^7 [(x^{12})^{162} - 1] + x^7 - 1$ и воспользоваться известной формулой деления разности четных степеней двух одночленов на разность оснований). Отсюда следует, что искомый коэффициент совпадает с коэффициентом при $x^{14}$ в произведении
$\left (x^{1939} + x^{1927} + \cdots + x^{31} + x^{19} + x^7 + \frac {x^7 - 1}{x^{12} - 1} \right ) \times (x^8 - x^7 - x^6 + 2x^5 - 2x^3 + x^2 + x - 1)$
который равен - 1.
