ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-05-06   
Неизвестный многочлен дает при делении на $x-1$ остаток 2, а при делении на $x-2$ - остаток 1. Какой остаток дает этот многочлен при делении на $(x-1) (x-2)$?


Решение:


Пусть $p(x)$ есть наш неизвестный многочлен, $q(x)$ - частное от деления этого многочлена на $(x-1) (x-2)$, $r(x) = ax + b$ - искомый остаток:

$p(x) = (x-1) (x-2) q(x) + ax + b$. (*)

По условию задачи имеем:

$p(x) = (x-1)q_1(x) + 2$, откуда $p(1) = 2$;
$p(x) = (x-2)q_2(x) + 1$, откуда $p(2) = 1$.

Подставляя теперь в равенство (*) $x = 1$ и $x = 2$, получаем:

$2 = p(1) = a+b$,
$1 = p(2) = 2a+b$,

откуда

$а = - 1$, $b = 3$.

Таким образом, искомый остаток есть $- x + 3$.
Ответ: $-х + 3$.