ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-05-06   
Найти остаток от деления многочлена

$x + x^3 + x^9 + x^{27} + x^{81} + x^{243}$

а) на $x-1$; б) на $x^2- 1$.


Решение:


а)* Первое решение. Так как при любом целом положительном $k$ двучлен $x^k - 1$ делится на $x - 1$, то

$x + x^3 + x^9 + x^{27} + x^{81} + x^{243} = (x-1) + (x^3 - 1) + (x^9 - 1) + (x^{27} - 1) + (x^{81} - 1) + (x^{243} - 1) + 6$

дает при делении на $x - 1$ остаток 6.

Второе решение. Обозначим частное от деления $x + x^3 + x^9 + x^{27} + x^{81} + x^{243}$ на $x-1$ через $q(x)$ и остаток через $r$. Тогда

$x + x^3 + x^9 + x^{27} + x^{81} + x^{243} = q(x)(x-1) + r$.

Полагая в этом равенстве $x = 1$, получим $6 = r$.

б) Аналогично второму решению предыдущей задачи предположим, что $q(x)$ есть частное от деления нашего многочлена на $x^2-1$, а $r_1x + r_2$ есть искомый остаток (остаток от деления многочлена на квадратный трехчлен является двучленом первой степени):

$x + x^3 + x^9 + x^{27} + x^{81} + x^{243} = q(x)(x^2 - 1) + r_1x + r_2$.

Полагая в последнем равенстве $x = 1$ и $x = - 1$, мы получаем:

$6 = r_1 + r_2 - 6 = - r_1 + r_2$, откуда $r_1 = 6$, $r_2 = 0$.

Таким образом, искомый остаток равен $6x$.
Ответ: а) 6. б) $6x$.