Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3006
2019-05-06 
Доказать, что в произведении
$(1 - x + x^2 - x^3 + \cdots - x^{99} + x^{100}) \times (1 + x + x^2 + \cdots + x^{99} + x^{100})$
после раскрытия скобок и приведения подобных членов не останется членов, содержащих $x$ в нечетной степени.
Решение:
Утверждение задачи непосредственно вытекает из следующих преобразований:
$(1 - x + x^2 - x^3 + \cdots - x^{99} + x^{100})(1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^{99} + x^{100}) = [(1+x^2 + x^4 + \cdots + x^{100}) - x(1+x^2+x^4 + \cdots + x^{98})][(1+x^2 + x^4 + \cdots + x^{100}) + x(1+x^2 + x^4 + \cdots + x^{98})] = (1+x^2 + x^4 + \cdots + x^{100})^2 - x^2 (1 + x^2 + x^4 + \cdots + x^{98})^2$.
Доказать, что в произведении
$(1 - x + x^2 - x^3 + \cdots - x^{99} + x^{100}) \times (1 + x + x^2 + \cdots + x^{99} + x^{100})$
после раскрытия скобок и приведения подобных членов не останется членов, содержащих $x$ в нечетной степени.
Решение:
Утверждение задачи непосредственно вытекает из следующих преобразований:
$(1 - x + x^2 - x^3 + \cdots - x^{99} + x^{100})(1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^{99} + x^{100}) = [(1+x^2 + x^4 + \cdots + x^{100}) - x(1+x^2+x^4 + \cdots + x^{98})][(1+x^2 + x^4 + \cdots + x^{100}) + x(1+x^2 + x^4 + \cdots + x^{98})] = (1+x^2 + x^4 + \cdots + x^{100})^2 - x^2 (1 + x^2 + x^4 + \cdots + x^{98})^2$.
