Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3005
2019-05-06 
В каком из выражений
$(1 + x^2 - x^3)^{1000}$ и $(1 - x^2 + x^3)^{1000}$
будет стоять после раскрытия скобок и приведения подобных членов больший коэффициент при $x^{20}$?
Решение:
Раскрыв скобки и сделав приведение подобных членов в двух рассматриваемых выражениях, мы получим два многочлена относительно $x$. Заменим теперь в наших выражениях $x$: на $-x$. При этом нам придется заменить $x$ на $-x$: также и в полученных многочленах, т. е. в каждом из них оставить прежние коэффициенты при $x$ в четных степенях и заменить знаки коэффициентов на обратные при $x$ в нечетных степенях. В частности, коэффициенты при $x^{20}$ при этой операции не изменяется. Таким образом, мы видим, что наши два многочлена имеют те же коэффициенты при $x^{20}$, что и многочлены, получаемые при раскрытии скобок и приведении подобных членов в выражениях $(1+x^2+x^3)^{1000}$ и $(1-x^2 - x^3)^{1000}$.
Но ясно, что первый из этих новых многочленов имеет больший коэффициент при $x^{20}$. Действительно, при раскрытии скобок в первом выражении мы получим исключительно положительные коэффициенты при различных степенях $x$, и при приведении подобных членов все эти коэффициенты будут складываться. Во втором выражении при раскрытии скобок мы получим при различных степенях $x$ коэффициенты, имеющие те же абсолютные величины, что и коэффициенты первого многочлена, но знаки их могут быть различны - и при приведении подобных членов у нас произойдет уменьшение коэффициентов.
Итак, после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражениях $(1+x^2 - x^3)^{1000}$ и $(1 - x^2 + x^3)^{1000}$ мы получим в первом из них больший коэффициент при $x^{20}$, чем во втором.
В каком из выражений
$(1 + x^2 - x^3)^{1000}$ и $(1 - x^2 + x^3)^{1000}$
будет стоять после раскрытия скобок и приведения подобных членов больший коэффициент при $x^{20}$?
Решение:
Раскрыв скобки и сделав приведение подобных членов в двух рассматриваемых выражениях, мы получим два многочлена относительно $x$. Заменим теперь в наших выражениях $x$: на $-x$. При этом нам придется заменить $x$ на $-x$: также и в полученных многочленах, т. е. в каждом из них оставить прежние коэффициенты при $x$ в четных степенях и заменить знаки коэффициентов на обратные при $x$ в нечетных степенях. В частности, коэффициенты при $x^{20}$ при этой операции не изменяется. Таким образом, мы видим, что наши два многочлена имеют те же коэффициенты при $x^{20}$, что и многочлены, получаемые при раскрытии скобок и приведении подобных членов в выражениях $(1+x^2+x^3)^{1000}$ и $(1-x^2 - x^3)^{1000}$.
Но ясно, что первый из этих новых многочленов имеет больший коэффициент при $x^{20}$. Действительно, при раскрытии скобок в первом выражении мы получим исключительно положительные коэффициенты при различных степенях $x$, и при приведении подобных членов все эти коэффициенты будут складываться. Во втором выражении при раскрытии скобок мы получим при различных степенях $x$ коэффициенты, имеющие те же абсолютные величины, что и коэффициенты первого многочлена, но знаки их могут быть различны - и при приведении подобных членов у нас произойдет уменьшение коэффициентов.
Итак, после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражениях $(1+x^2 - x^3)^{1000}$ и $(1 - x^2 + x^3)^{1000}$ мы получим в первом из них больший коэффициент при $x^{20}$, чем во втором.
