Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3002
2019-05-06 
Доказать, что каковы бы ни были коэффициенты $a_{31}, a_{30}, \cdots, a_2, a_1$ сумма
$\cos 32x + a_{31} \cos 31x + a_{30} \cos 30x + \cdots + a_2 \cos 2x + a_1 \cos x$
не может принимать при всех $x$ только положительные значения.
Решение:
Предположим, что сумма
$\cos 32 x + a_{31} \cos 31x + a_{30} \cos 30x + a_{29} \cos 29x + \cdots + a_2 \cos 2x + a_1 \cos x$ (*)
при всех значениях $x$ принимает только положительные значения. Заменим в этой сумме $x$ на $x + \pi$; мы придем к выражению
$\cos 32 (x + \pi) + a_{31} \cos 31 (x + \pi) + a_{30} \cos 30 (x + \pi) + a_{29} \cos 29 (x + \pi) + \cdots + a_2 \cos 2 (x + \pi) + a_1 \cos (x + \pi) = \cos 32 x - a_{31} \cos 31x + a_{30} \cos 30x - a_{29} \cos 29x + \cdots + a_2 \cos 2x - a_1 \cos x$, (**)
которое тоже должно принимать при всех значениях $x$ положительные значения. А в таком случае и полусумма выражений (*) и (**), равная
$\cos 32 x + a_{30} \cos 30x + \cdots + a_4 \cos 4x + a_2 \cos 2x$,
тоже будет принимать при всех $x$ только положительные значения.
Теперь заменим в последнем выражении $x$ на $x + \frac{ \pi}{2}$ получим:
$\cos 32 \left ( x + \frac{ \pi}{2} \right ) + a_{30} \cos 30 \left ( x + \frac{\pi}{2} \right ) + a_{28} \cos 28 \left ( x + \frac{\pi}{2} \right ) + \cdots + a_4 \cos 4 \left ( x+ \frac{ \pi}{2} \right ) + a_2 \cos 2 \left ( x + \frac{\pi}{2} \right ) = \cos 32 x - a_{30} \cos 30x + a_{28} \cos 28x - \cdots + a_4 \cos 4x - a_2 \cos 2x$.
Составив полусумму двух последних выражений, найдем, что сумма
$\cos 32x + a_{28} \cos 28x + a_{24} \cos 24x + \cdots + a_8 \cos 8x + a_4 \cos 4x$
тоже должна принимать при всех $x$ только положительные значения.
Заменяя в последнем выражении $x$ на $x + \frac{ \pi}{4}$ и составляя полусумму полученного выражения и первоначального, мы придем к сумме
$\cos 32x + a_{24} \cos 24x + a_{16} \cos 16x + a_8 \cos 8x$
заменяя в ней $x$ на $x + \frac{ \pi}{8}$ и складывая полученное выражение с первоначальным, мы придем к сумме
$\cos 32x + a_{24} \cos 24x + a_{16} \cos 16x + a_8 \cos 8x$;
заменяя в ней $x$ на $x + \frac{ \pi}{8}$ и складывая полученное выражение с первоначальным, мы придем к сумме
$\cos 32x + a_{16} \cos 16x$;
наконец, точно так же убеждаемся, что выражение
$\cos 32x$
тоже должно принимать при всех значениях $x$ только положительные значения. Но при $x = \frac{ \pi}{32}$ последнее выражение равно - 1.
Полученное противоречие и доказывает утверждение задачи.
Доказать, что каковы бы ни были коэффициенты $a_{31}, a_{30}, \cdots, a_2, a_1$ сумма
$\cos 32x + a_{31} \cos 31x + a_{30} \cos 30x + \cdots + a_2 \cos 2x + a_1 \cos x$
не может принимать при всех $x$ только положительные значения.
Решение:
Предположим, что сумма
$\cos 32 x + a_{31} \cos 31x + a_{30} \cos 30x + a_{29} \cos 29x + \cdots + a_2 \cos 2x + a_1 \cos x$ (*)
при всех значениях $x$ принимает только положительные значения. Заменим в этой сумме $x$ на $x + \pi$; мы придем к выражению
$\cos 32 (x + \pi) + a_{31} \cos 31 (x + \pi) + a_{30} \cos 30 (x + \pi) + a_{29} \cos 29 (x + \pi) + \cdots + a_2 \cos 2 (x + \pi) + a_1 \cos (x + \pi) = \cos 32 x - a_{31} \cos 31x + a_{30} \cos 30x - a_{29} \cos 29x + \cdots + a_2 \cos 2x - a_1 \cos x$, (**)
которое тоже должно принимать при всех значениях $x$ положительные значения. А в таком случае и полусумма выражений (*) и (**), равная
$\cos 32 x + a_{30} \cos 30x + \cdots + a_4 \cos 4x + a_2 \cos 2x$,
тоже будет принимать при всех $x$ только положительные значения.
Теперь заменим в последнем выражении $x$ на $x + \frac{ \pi}{2}$ получим:
$\cos 32 \left ( x + \frac{ \pi}{2} \right ) + a_{30} \cos 30 \left ( x + \frac{\pi}{2} \right ) + a_{28} \cos 28 \left ( x + \frac{\pi}{2} \right ) + \cdots + a_4 \cos 4 \left ( x+ \frac{ \pi}{2} \right ) + a_2 \cos 2 \left ( x + \frac{\pi}{2} \right ) = \cos 32 x - a_{30} \cos 30x + a_{28} \cos 28x - \cdots + a_4 \cos 4x - a_2 \cos 2x$.
Составив полусумму двух последних выражений, найдем, что сумма
$\cos 32x + a_{28} \cos 28x + a_{24} \cos 24x + \cdots + a_8 \cos 8x + a_4 \cos 4x$
тоже должна принимать при всех $x$ только положительные значения.
Заменяя в последнем выражении $x$ на $x + \frac{ \pi}{4}$ и составляя полусумму полученного выражения и первоначального, мы придем к сумме
$\cos 32x + a_{24} \cos 24x + a_{16} \cos 16x + a_8 \cos 8x$
заменяя в ней $x$ на $x + \frac{ \pi}{8}$ и складывая полученное выражение с первоначальным, мы придем к сумме
$\cos 32x + a_{24} \cos 24x + a_{16} \cos 16x + a_8 \cos 8x$;
заменяя в ней $x$ на $x + \frac{ \pi}{8}$ и складывая полученное выражение с первоначальным, мы придем к сумме
$\cos 32x + a_{16} \cos 16x$;
наконец, точно так же убеждаемся, что выражение
$\cos 32x$
тоже должно принимать при всех значениях $x$ только положительные значения. Но при $x = \frac{ \pi}{32}$ последнее выражение равно - 1.
Полученное противоречие и доказывает утверждение задачи.
