Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3001
2019-05-06 
Найти соотношение между $\arcsin \cos \arcsin x$ и $\arccos \sin \arccos x$.
Решение:
Пусть
$\arcsin {\cos \arcsin x = \alpha}$.
Угол $\alpha$ заключен в пределах $0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}$, ибо $0 \leq \cos \arcsin x \leq 1$ (так как $- \frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{ \pi}{2}$). Далее, $\sin \alpha = \cos \arcsin x$, следовательно,
$\arcsin x = \pm \left ( \frac{\pi}{2} - \alpha \right )$ и $x = \sin \left [ \pm \left ( \frac{\pi}{2} - \alpha \right ) \right ] = \pm \cos \alpha$.
Точно так же, если $\arccos \sin \arccos x = \beta$, то $0 \leq \beta \leq \pi/2$; (ибо $0 \leq \sin \arccos x \leq 1$, так как $0 \leq \arccos x \leq \pi$) и $\cos \beta = \sin \arccos x$ следовательно,
$\arccos x = \pi/2 \mp \beta$ и $x = \cos \left ( \frac{\pi}{2} \mp \beta \right ) = \pm \sin \beta$.
Из того, что $\cos \alpha = \sin \beta (= \pm x)$, заключаем:
$\alpha + \beta = \arcsin \cos \arcsin x + \arccos \sin \arccos x = \frac{ \pi}{2}$.
Найти соотношение между $\arcsin \cos \arcsin x$ и $\arccos \sin \arccos x$.
Решение:
Пусть
$\arcsin {\cos \arcsin x = \alpha}$.
Угол $\alpha$ заключен в пределах $0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}$, ибо $0 \leq \cos \arcsin x \leq 1$ (так как $- \frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{ \pi}{2}$). Далее, $\sin \alpha = \cos \arcsin x$, следовательно,
$\arcsin x = \pm \left ( \frac{\pi}{2} - \alpha \right )$ и $x = \sin \left [ \pm \left ( \frac{\pi}{2} - \alpha \right ) \right ] = \pm \cos \alpha$.
Точно так же, если $\arccos \sin \arccos x = \beta$, то $0 \leq \beta \leq \pi/2$; (ибо $0 \leq \sin \arccos x \leq 1$, так как $0 \leq \arccos x \leq \pi$) и $\cos \beta = \sin \arccos x$ следовательно,
$\arccos x = \pi/2 \mp \beta$ и $x = \cos \left ( \frac{\pi}{2} \mp \beta \right ) = \pm \sin \beta$.
Из того, что $\cos \alpha = \sin \beta (= \pm x)$, заключаем:
$\alpha + \beta = \arcsin \cos \arcsin x + \arccos \sin \arccos x = \frac{ \pi}{2}$.
