Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3000
2019-05-06 
Доказать, что если $\alpha$ и $\beta$ - острые углы и $\alpha < \beta$, то $\frac {tg \alpha}{\alpha} < \frac {tg \beta}{\beta}$.
Решение:
Пусть $AE$ и $AF$ - дуги единичной окружности с центром в точке $О$, равные соответственно $\alpha$ и $\beta$, $B$ и $С$ - точки пересечения перпендикуляра, восставленного в точке $А$ к диаметру $OA$, с прямыми $OE$ и $OF$, $M$ и $N$ - точки пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $E$ на диаметр $OA$ с прямыми $OA$ и $OF$ (см. рис.). Тогда имеем:
$S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} tg \alpha$, $S_{\triangle OAC} = \frac{1}{2} tg \beta$,
$S_{\: сект OAE} = \frac{1}{2} \alpha$, $S_{\: сект OAF} = \frac{1}{2} \beta$
и, следовательно,
$\frac{tg \alpha}{ \alpha} = \frac {S_{\triangle OAB}}{S_{\: сект OAE}}, \frac{tg \beta}{ \beta} = \frac {S_{\triangle OAC}}{S_{\: сект OAF}}$.
Но, как нетрудно видеть,
$\frac {S_{\triangle OAB}}{S_{\: сект OAE}} < \frac {S_{\triangle OBC}}{S_{\: сект OEF}}$.
Действительно,
$\frac {S_{\triangle OAB}}{S_{\triangle OAE}} < \frac {S_{\triangle OAB}}{S_{\triangle OEM}}$, $\frac {S_{\triangle ODC}}{S_{\: сект OEF}} > \frac {S_{\triangle OBC}}{S_{\triangle OEN}}$,
а
$\frac {S_{\triangle OAB}}{S_{\triangle OEM}} = \frac {S_{\triangle OBC}}{S_{\triangle OEN}}$.
Из того, что $\frac {S_{\triangle OBC}}{S_{\: сект OEF}} > \frac {S_{\triangle OAB}}{S_{\: сект OAE}}$, следует, что
$\frac {S_{\triangle OAB} + S_{\triangle OBC}}{S_{\: сект OAE} + S_{\: сект OEF}} > \frac {S_{\triangle OAB}}{S_{\: сект OAE}}$,
т. е. что $
\frac {S_{\triangle OAC}}{S_{\: сект OAF}} > \frac {S_{\triangle OAB}}{S_{\: сект OAE}}$,
что и требовалось доказать.
Доказать, что если $\alpha$ и $\beta$ - острые углы и $\alpha < \beta$, то $\frac {tg \alpha}{\alpha} < \frac {tg \beta}{\beta}$.
Решение:
Пусть $AE$ и $AF$ - дуги единичной окружности с центром в точке $О$, равные соответственно $\alpha$ и $\beta$, $B$ и $С$ - точки пересечения перпендикуляра, восставленного в точке $А$ к диаметру $OA$, с прямыми $OE$ и $OF$, $M$ и $N$ - точки пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $E$ на диаметр $OA$ с прямыми $OA$ и $OF$ (см. рис.). Тогда имеем:
$S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} tg \alpha$, $S_{\triangle OAC} = \frac{1}{2} tg \beta$,
$S_{\: сект OAE} = \frac{1}{2} \alpha$, $S_{\: сект OAF} = \frac{1}{2} \beta$
и, следовательно,
$\frac{tg \alpha}{ \alpha} = \frac {S_{\triangle OAB}}{S_{\: сект OAE}}, \frac{tg \beta}{ \beta} = \frac {S_{\triangle OAC}}{S_{\: сект OAF}}$.
Но, как нетрудно видеть,
$\frac {S_{\triangle OAB}}{S_{\: сект OAE}} < \frac {S_{\triangle OBC}}{S_{\: сект OEF}}$.
Действительно,
$\frac {S_{\triangle OAB}}{S_{\triangle OAE}} < \frac {S_{\triangle OAB}}{S_{\triangle OEM}}$, $\frac {S_{\triangle ODC}}{S_{\: сект OEF}} > \frac {S_{\triangle OBC}}{S_{\triangle OEN}}$,
а
$\frac {S_{\triangle OAB}}{S_{\triangle OEM}} = \frac {S_{\triangle OBC}}{S_{\triangle OEN}}$.
Из того, что $\frac {S_{\triangle OBC}}{S_{\: сект OEF}} > \frac {S_{\triangle OAB}}{S_{\: сект OAE}}$, следует, что
$\frac {S_{\triangle OAB} + S_{\triangle OBC}}{S_{\: сект OAE} + S_{\: сект OEF}} > \frac {S_{\triangle OAB}}{S_{\: сект OAE}}$,
т. е. что $
\frac {S_{\triangle OAC}}{S_{\: сект OAF}} > \frac {S_{\triangle OAB}}{S_{\: сект OAE}}$,
что и требовалось доказать.
