Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2998
2019-05-06 
Доказать, не пользуясь логарифмическими таблицами, что
a) $\frac{1}{log_2 \pi} + \frac{1}{log_5 \pi} > 2$; б) $\frac{1}{ log_2 \pi} + \frac{1}{ log_{\pi} 2} > 2$.
Решение:
а) Обозначим $log_2 \pi = a$, $log_5 \pi = b$. Из равенства $2^a = \pi$, $5^b = \pi$ получаем $\pi^{ \frac{1}{a} } = 2$, $\pi^{ \frac{1}{b}} = 5$, $\pi^{ \frac{1}{a}} \cdot \pi^{ \frac{1}{b}} = 2 \cdot 5 = 10$, $\pi^{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = 10$. Но $\pi^2 \approx 3,14^2 < 10$, откуда следует справедливость неравенства $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > 2$, что и требовалось доказать.
б) Обозначим $log_2 \pi = a$, $log_{\pi} 2 = b$. В таком случае имеем $2^a = \pi, \pi^b = 2$; из второго равенства вытекает $2^{ \frac{1}{b}} = \pi$, или $b = \frac{1}{a}$. Теперь наше неравенство принимает вид
$\frac{1}{a} + \frac{1}{ \frac{1}{a}} > 2$,
$\frac{a^2 + 1}{a} > 2$,
$a^2 + 1 > 2a$,
или $a^2 - 2a + 11 = (a-1)^2 > 0$. Последнее неравенство является очевидным.
Доказать, не пользуясь логарифмическими таблицами, что
a) $\frac{1}{log_2 \pi} + \frac{1}{log_5 \pi} > 2$; б) $\frac{1}{ log_2 \pi} + \frac{1}{ log_{\pi} 2} > 2$.
Решение:
а) Обозначим $log_2 \pi = a$, $log_5 \pi = b$. Из равенства $2^a = \pi$, $5^b = \pi$ получаем $\pi^{ \frac{1}{a} } = 2$, $\pi^{ \frac{1}{b}} = 5$, $\pi^{ \frac{1}{a}} \cdot \pi^{ \frac{1}{b}} = 2 \cdot 5 = 10$, $\pi^{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = 10$. Но $\pi^2 \approx 3,14^2 < 10$, откуда следует справедливость неравенства $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > 2$, что и требовалось доказать.
б) Обозначим $log_2 \pi = a$, $log_{\pi} 2 = b$. В таком случае имеем $2^a = \pi, \pi^b = 2$; из второго равенства вытекает $2^{ \frac{1}{b}} = \pi$, или $b = \frac{1}{a}$. Теперь наше неравенство принимает вид
$\frac{1}{a} + \frac{1}{ \frac{1}{a}} > 2$,
$\frac{a^2 + 1}{a} > 2$,
$a^2 + 1 > 2a$,
или $a^2 - 2a + 11 = (a-1)^2 > 0$. Последнее неравенство является очевидным.
