Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2997
2019-05-06 
Что больше $\cos \sin x$ или $\sin \cos x$ ?
Решение:
Так как $\sin \cos x = - \cos \left ( \frac{\pi}{2} + \cos x \right )$, то
$\cos \sin x - \sin \cos x = \cos \sin x + \cos \left ( \frac{\pi}{2} + \cos x \right ) = 2 \cos \frac { \frac{ \pi}{2} + \cos x + \sin x}{2} \cos \frac { \frac{\pi}{2} + \cos x - \sin x}{2}$.
Ho
$|\cos x + \sin x| = \sqrt {\cos^2 x + 2 \cos x \sin x + \sin^2 x} = \sqrt {1 + \sin 2x} \leq \sqrt{2}$
($|\cos x + \sin x| = \sqrt{2}$, только если $\sin 2x = 1$) и точно так же
$|\cos x - \sin x| = \sqrt{ \cos^{2} x - 2 \cos x \sin x + \sin^{2} x } = \sqrt{1 - \sin 2 x} \leq \sqrt{2}$
($|\cos x - \sin x| = \sqrt{2}$, только если $\sin 2x = -1$). А так как $\frac{ \pi}{2} \approx \frac{3,14}{2} = 1,57$ больше чем $\sqrt{2} \approx 1,41$, то отсюда следует, что
$\frac{\pi}{2} > \frac { \frac{\pi}{2} + \cos x + \sin x}{2} > 0$ и $\frac{\pi}{2} > \frac { \frac{\pi}{2} + \cos x - \sin x}{2} > 0$,
значит, как $\cos \frac { \frac{\pi}{2} + \cos x + \sin x}{2}$, так и $\cos \frac { \frac{\pi}{2} + \cos x - \sin x}{2}$ всегда положительны. Таким образом, разность $\cos {\sin x} - \sin {\cos x}$ всегда положительна, т. е. $\cos \sin x$ при любом $х$ больше чем $\sin \cos x$.
Ответ: $\cos \sin х$ больше, чем $\sin {\cos х}$ при любом $х$.
Что больше $\cos \sin x$ или $\sin \cos x$ ?
Решение:
Так как $\sin \cos x = - \cos \left ( \frac{\pi}{2} + \cos x \right )$, то
$\cos \sin x - \sin \cos x = \cos \sin x + \cos \left ( \frac{\pi}{2} + \cos x \right ) = 2 \cos \frac { \frac{ \pi}{2} + \cos x + \sin x}{2} \cos \frac { \frac{\pi}{2} + \cos x - \sin x}{2}$.
Ho
$|\cos x + \sin x| = \sqrt {\cos^2 x + 2 \cos x \sin x + \sin^2 x} = \sqrt {1 + \sin 2x} \leq \sqrt{2}$
($|\cos x + \sin x| = \sqrt{2}$, только если $\sin 2x = 1$) и точно так же
$|\cos x - \sin x| = \sqrt{ \cos^{2} x - 2 \cos x \sin x + \sin^{2} x } = \sqrt{1 - \sin 2 x} \leq \sqrt{2}$
($|\cos x - \sin x| = \sqrt{2}$, только если $\sin 2x = -1$). А так как $\frac{ \pi}{2} \approx \frac{3,14}{2} = 1,57$ больше чем $\sqrt{2} \approx 1,41$, то отсюда следует, что
$\frac{\pi}{2} > \frac { \frac{\pi}{2} + \cos x + \sin x}{2} > 0$ и $\frac{\pi}{2} > \frac { \frac{\pi}{2} + \cos x - \sin x}{2} > 0$,
значит, как $\cos \frac { \frac{\pi}{2} + \cos x + \sin x}{2}$, так и $\cos \frac { \frac{\pi}{2} + \cos x - \sin x}{2}$ всегда положительны. Таким образом, разность $\cos {\sin x} - \sin {\cos x}$ всегда положительна, т. е. $\cos \sin x$ при любом $х$ больше чем $\sin \cos x$.
Ответ: $\cos \sin х$ больше, чем $\sin {\cos х}$ при любом $х$.
