Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2996
2019-05-06 
Доказать, что если числа $x_1$ и $x_2$ по абсолютной величине не превосходят единицу, то
$\sqrt {1 - x_1^2} + \sqrt {1 - x_2^2} \leq 2 \sqrt {1 - \left (\frac {x_1 + x_2}{2} \right )^2}$
При каких значениях $x_1$ и $x_2$ левая часть этого неравенства точно равна правой части?
Решение:
Первое решение. Обе части равенства положительны, поэтому, возводя их в квадрат, получим:
$1 - x_1^2 + 1 - x_2^2 + 2 \sqrt {(1-x_1^2)(1 - x_2^2)} \leq 4 - (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2)$,
т. е.
$2 \sqrt {(1-x_1^2)(1 - x_2^2)} \leq 2 - 2x_1x_2$,
$\sqrt {(1-x_1^2)(1 - x_2^2)} \leq 1 - x_1x_2$.
Возведем опять обе части в квадрат:
$1 - x_1^2 - x_2^2 + x_1^2x_2^2 \leq 1 - 2x_1x_2 + x_1^2x_2^2$;
перенося все члены направо, получим:
$0 \leq (x_1 - x_2)^2$.
Последнее неравенство очевидно; равенство здесь имеет место лишь при $x_1 = x_2$. Отсюда вытекает, что исходное неравенство всегда имеет место и обращается в равенство лишь при $x_1 = x_2$.
Второе решение. Эта задача имеет и геометрическое решение; аналогичные решения можно найти и для многих значительно более сложных задач. Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат и рассмотрим окружность с центром в начале координат и радиусом, равным единице рис. Координаты $х, у$ точек этой окружности будут связаны соотношением
$x^2 + y^2 = 1$
Отметим теперь на оси $Ох$ две точки $M_1$ и $M_2$, имеющие абсциссы $x_1$ и $x_2$ так как $|x_1| \leq 1$ и $|x_2| \leq 1$, то обе точки будут расположены внутри (или на границе) единичной окружности. Восстановим в этих точках перпендикуляры к оси абсцисс до пересечения их с верхней полуокружностью в точках $N_1$ и $N_2$, тогда, очевидно $M_1N_1 = \sqrt {1 - x_1^2}$ и $M_2N_2 = \sqrt {1 - x_2^2}$. Заметим теперь, что абсциссу
$\frac{x_{1} + x_{2} }{2}$ будет иметь середина $М$ отрезка $M_1M_2$). Отсюда вытекает, что величина $\sqrt {1 - \left ( \frac{x_1 + x_2}{2} \right )^2)}$ будет равна длине отрезка $MN$, где $N$ есть точка пересечения с окружностью перпендикуляра к оси абсцисс, восставленного в точке $M$. Но сумма $M_1N_1 + M_2N_2$ равна удвоенной длине средней линии $N^{ \prime}M$ трапеции $M_1N_1N_2M_2$, т. е. меньше, чему удвоенная длина отрезка $MN$. Тем самым нужное нам неравенство доказано; из доказательства видно, что это неравенство обращается в равенство, лишь если точки $M_1$ и $M_2$ совпадают, т. е. если $x_1 = x_2$.
Доказать, что если числа $x_1$ и $x_2$ по абсолютной величине не превосходят единицу, то
$\sqrt {1 - x_1^2} + \sqrt {1 - x_2^2} \leq 2 \sqrt {1 - \left (\frac {x_1 + x_2}{2} \right )^2}$
При каких значениях $x_1$ и $x_2$ левая часть этого неравенства точно равна правой части?
Решение:
Первое решение. Обе части равенства положительны, поэтому, возводя их в квадрат, получим:
$1 - x_1^2 + 1 - x_2^2 + 2 \sqrt {(1-x_1^2)(1 - x_2^2)} \leq 4 - (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2)$,
т. е.
$2 \sqrt {(1-x_1^2)(1 - x_2^2)} \leq 2 - 2x_1x_2$,
$\sqrt {(1-x_1^2)(1 - x_2^2)} \leq 1 - x_1x_2$.
Возведем опять обе части в квадрат:
$1 - x_1^2 - x_2^2 + x_1^2x_2^2 \leq 1 - 2x_1x_2 + x_1^2x_2^2$;
перенося все члены направо, получим:
$0 \leq (x_1 - x_2)^2$.
Последнее неравенство очевидно; равенство здесь имеет место лишь при $x_1 = x_2$. Отсюда вытекает, что исходное неравенство всегда имеет место и обращается в равенство лишь при $x_1 = x_2$.
Второе решение. Эта задача имеет и геометрическое решение; аналогичные решения можно найти и для многих значительно более сложных задач. Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат и рассмотрим окружность с центром в начале координат и радиусом, равным единице рис. Координаты $х, у$ точек этой окружности будут связаны соотношением
$x^2 + y^2 = 1$
Отметим теперь на оси $Ох$ две точки $M_1$ и $M_2$, имеющие абсциссы $x_1$ и $x_2$ так как $|x_1| \leq 1$ и $|x_2| \leq 1$, то обе точки будут расположены внутри (или на границе) единичной окружности. Восстановим в этих точках перпендикуляры к оси абсцисс до пересечения их с верхней полуокружностью в точках $N_1$ и $N_2$, тогда, очевидно $M_1N_1 = \sqrt {1 - x_1^2}$ и $M_2N_2 = \sqrt {1 - x_2^2}$. Заметим теперь, что абсциссу
$\frac{x_{1} + x_{2} }{2}$ будет иметь середина $М$ отрезка $M_1M_2$). Отсюда вытекает, что величина $\sqrt {1 - \left ( \frac{x_1 + x_2}{2} \right )^2)}$ будет равна длине отрезка $MN$, где $N$ есть точка пересечения с окружностью перпендикуляра к оси абсцисс, восставленного в точке $M$. Но сумма $M_1N_1 + M_2N_2$ равна удвоенной длине средней линии $N^{ \prime}M$ трапеции $M_1N_1N_2M_2$, т. е. меньше, чему удвоенная длина отрезка $MN$. Тем самым нужное нам неравенство доказано; из доказательства видно, что это неравенство обращается в равенство, лишь если точки $M_1$ и $M_2$ совпадают, т. е. если $x_1 = x_2$.
