Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2994
2019-05-06 
а) Доказать, что каковы бы ни были действительные числа $a_1, a_2, \cdots, a_n$; $b_1, b_2, \cdots, b_n$, всегда
$\sqrt {a_1^2 + b_1^2} + \sqrt {a_2^2 + b_2^2} + \cdots + \sqrt {a_n^2 + b_n^2} \geq \sqrt {(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)^2 + (b_1 + b_2 + \cdots + b_n)^2}$.
При каких условиях имеет место равенство?
б) Пирамида называется прямой, если в основание пирамиды можно вписать окружность и центр этой окружности совпадает с основанием высоты пирамиды. Доказать, что прямая пирамида имеет меньшую боковую поверхность, чем всякая другая пирамида той же высоты, основание которой имеет ту же площадь и тот же периметр.
Примечание. Неравенство задачи а) составляет частный случай так называемого неравенства Минковского, согласно которому
$\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + \cdots + l_1^2} + \sqrt {a_2^2 + b_2^2 + \cdots + l_2^2} + \cdots + \sqrt {a_n^2 + b_n^2 + \cdots + l_n^2} \geq \sqrt {(a_1 + \cdots + a_n)^2 + (b_1 + \cdots + b_n)^2 + \cdots + (l_1 + \cdots + l_n)^2}$.
Решение:
а) Отметим, прежде всего, что мы с самого начала можем считать все $a_1, a_2, \dots, a_n$, $b_1, b_2, \cdots, b_n$ положительными; в противном случае мы изменили бы знаки отрицательных чисел на противоположные: левая часть неравенства при этом не изменится, а правая может только увеличиться. Рассмотрим теперь ломаную $A_0A_1A_2 \cdots A_n$, такую, что проекции отрезков $A_0A_1, A_1A_2, \cdots A_{n-1}A_n$ на ось $Ох$ равны соответственно $a_1, a_2, \cdots, a_n$, а проекции этих же отрезков на ось $Oy$ - $b_1, b_2 \cdots, b_n$; при этом пусть каждая вершина ломаной расположена правее и выше предшествующей рис.. В таком случае из теоремы Пифагора следует, что
$A_0A_1 = \sqrt {a_1^2 + b_1^2}$, $A_1A_2 = \sqrt {a_2^2 + b_2^2}, \cdots, A_{i-1}A_n = \sqrt {a_n^2 + b_n^2}, A_0A_n = \sqrt {(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)^2 + (b_0 + b_1 + \cdots + b_n)^2}$,
откуда и получается неравенство задачи.
Ломаная $A_0A_1A_2 \cdots A_n$ будет равна отрезку $A_0A_n$ только в том случае, если все звенья этой ломаной являются продолжениями одно другого (ломаная является отрезком прямой). Нетрудно видеть, что это обстоятельство будет иметь место в том случае, если $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n}$; лишь в этом случае имеет место равенство
$\sqrt {a_1^2 + b_1^2} + \sqrt {a_2^2 + b_2^2} + \cdots + \sqrt {a_n^2 + b_n^2} = \sqrt {(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)^2 + (b_1 + b_2 + \cdots + b_n)^2}$.
б) Обозначим через $h$ высоту пирамиды, через $a_1, a_2, \cdots, a_n$, - стороны основания $(a_1 + a_2 + \cdots + a_n = P)$ и через $b_1, b_2, \cdots, b_n$ - длины перпендикуляров, опущенных из основания высоты на стороны основания $\left ( \frac{1}{2} a_1b_1 + \frac{1}{2} a_2b_2 + \cdots + \frac{1}{2} a_nb_n = S \right )$. В таком случае боковая поверхность $\sum$ пирамиды будет равна
$\frac{1}{2} a_1 \sqrt {b_1^2 + h^2} + \frac{1}{2} a_2 \sqrt {b_2^2 + h^2} + \cdots + \frac{1}{2} a_n \sqrt {b_n^2 + h^2}$.
Но согласно неравенству задачи а)
$2 \sum = \sqrt {(a_1b_1)^2 + (a_1h)^2} + \sqrt {(a_2b_2)^2 + (a_2h)^2} + \cdots + \sqrt {(a_nb_n)^2 + (a_nh)^2} \geq \sqrt {(a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2 + (a_1h + a_2h + \cdots + a_nh)^2} = \sqrt {4S^2 + h^2P^2}$,
причем равенство достигается только, если: $a_1b_1 : a_2b_2 : \cdots : \cdots : a_nb_n = a_1h : a_2h : \cdots : a_nh$, т. е. $b_1 = b_2 = \cdots = b_n$.
Отсюда и вытекает утверждение задачи.
а) Доказать, что каковы бы ни были действительные числа $a_1, a_2, \cdots, a_n$; $b_1, b_2, \cdots, b_n$, всегда
$\sqrt {a_1^2 + b_1^2} + \sqrt {a_2^2 + b_2^2} + \cdots + \sqrt {a_n^2 + b_n^2} \geq \sqrt {(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)^2 + (b_1 + b_2 + \cdots + b_n)^2}$.
При каких условиях имеет место равенство?
б) Пирамида называется прямой, если в основание пирамиды можно вписать окружность и центр этой окружности совпадает с основанием высоты пирамиды. Доказать, что прямая пирамида имеет меньшую боковую поверхность, чем всякая другая пирамида той же высоты, основание которой имеет ту же площадь и тот же периметр.
Примечание. Неравенство задачи а) составляет частный случай так называемого неравенства Минковского, согласно которому
$\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + \cdots + l_1^2} + \sqrt {a_2^2 + b_2^2 + \cdots + l_2^2} + \cdots + \sqrt {a_n^2 + b_n^2 + \cdots + l_n^2} \geq \sqrt {(a_1 + \cdots + a_n)^2 + (b_1 + \cdots + b_n)^2 + \cdots + (l_1 + \cdots + l_n)^2}$.
Решение:
а) Отметим, прежде всего, что мы с самого начала можем считать все $a_1, a_2, \dots, a_n$, $b_1, b_2, \cdots, b_n$ положительными; в противном случае мы изменили бы знаки отрицательных чисел на противоположные: левая часть неравенства при этом не изменится, а правая может только увеличиться. Рассмотрим теперь ломаную $A_0A_1A_2 \cdots A_n$, такую, что проекции отрезков $A_0A_1, A_1A_2, \cdots A_{n-1}A_n$ на ось $Ох$ равны соответственно $a_1, a_2, \cdots, a_n$, а проекции этих же отрезков на ось $Oy$ - $b_1, b_2 \cdots, b_n$; при этом пусть каждая вершина ломаной расположена правее и выше предшествующей рис.. В таком случае из теоремы Пифагора следует, что
$A_0A_1 = \sqrt {a_1^2 + b_1^2}$, $A_1A_2 = \sqrt {a_2^2 + b_2^2}, \cdots, A_{i-1}A_n = \sqrt {a_n^2 + b_n^2}, A_0A_n = \sqrt {(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)^2 + (b_0 + b_1 + \cdots + b_n)^2}$,
откуда и получается неравенство задачи.
Ломаная $A_0A_1A_2 \cdots A_n$ будет равна отрезку $A_0A_n$ только в том случае, если все звенья этой ломаной являются продолжениями одно другого (ломаная является отрезком прямой). Нетрудно видеть, что это обстоятельство будет иметь место в том случае, если $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n}$; лишь в этом случае имеет место равенство
$\sqrt {a_1^2 + b_1^2} + \sqrt {a_2^2 + b_2^2} + \cdots + \sqrt {a_n^2 + b_n^2} = \sqrt {(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)^2 + (b_1 + b_2 + \cdots + b_n)^2}$.
б) Обозначим через $h$ высоту пирамиды, через $a_1, a_2, \cdots, a_n$, - стороны основания $(a_1 + a_2 + \cdots + a_n = P)$ и через $b_1, b_2, \cdots, b_n$ - длины перпендикуляров, опущенных из основания высоты на стороны основания $\left ( \frac{1}{2} a_1b_1 + \frac{1}{2} a_2b_2 + \cdots + \frac{1}{2} a_nb_n = S \right )$. В таком случае боковая поверхность $\sum$ пирамиды будет равна
$\frac{1}{2} a_1 \sqrt {b_1^2 + h^2} + \frac{1}{2} a_2 \sqrt {b_2^2 + h^2} + \cdots + \frac{1}{2} a_n \sqrt {b_n^2 + h^2}$.
Но согласно неравенству задачи а)
$2 \sum = \sqrt {(a_1b_1)^2 + (a_1h)^2} + \sqrt {(a_2b_2)^2 + (a_2h)^2} + \cdots + \sqrt {(a_nb_n)^2 + (a_nh)^2} \geq \sqrt {(a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2 + (a_1h + a_2h + \cdots + a_nh)^2} = \sqrt {4S^2 + h^2P^2}$,
причем равенство достигается только, если: $a_1b_1 : a_2b_2 : \cdots : \cdots : a_nb_n = a_1h : a_2h : \cdots : a_nh$, т. е. $b_1 = b_2 = \cdots = b_n$.
Отсюда и вытекает утверждение задачи.
