Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2992
2019-05-06 
Даны $n$ чисел $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n$. Найти число $x$ такое, чтобы сумма
$(x - a_1)^2 + (x - a_2)^2 + \cdots + (x - a_n)^2$
имела наименьшее возможное значение.
Решение:
Будем исходить из формулы
$(X - a)^2 - (x - a)^2 = X^2 - x^2 - 2a (X - x)$.
Следовательно,
$[(X - a_1)^2 + (X - a_2)^2 + \cdots + (X - a_n)^2] - [(x - a_1)^2 + (x - a_2)^2 + \cdots + (x - a_n)^2] = n(X^2 - x^2) - 2(a_1 + a_2 + \cdots a_n)(X - x)$.
Если положить в последнем выражении $x = \frac {a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}$, то оно будет положительным; действительно, мы будем иметь:
$[(X - a_1)^2 + (X - a_2)^2 + \cdots + (X - a_n)^2] - [(x-a_1)^2 + (x-a_2)^2 + \cdots + (x - a_n)^2] = n(X^2 - x^2) - 2nx (X - x) = n (X^2 - x^2 - 2Xx + 2x^2) = n(X - x)^2 \geq 0$.
Отсюда вытекает, что искомым значением $x$ является
$\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}$.
Даны $n$ чисел $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n$. Найти число $x$ такое, чтобы сумма
$(x - a_1)^2 + (x - a_2)^2 + \cdots + (x - a_n)^2$
имела наименьшее возможное значение.
Решение:
Будем исходить из формулы
$(X - a)^2 - (x - a)^2 = X^2 - x^2 - 2a (X - x)$.
Следовательно,
$[(X - a_1)^2 + (X - a_2)^2 + \cdots + (X - a_n)^2] - [(x - a_1)^2 + (x - a_2)^2 + \cdots + (x - a_n)^2] = n(X^2 - x^2) - 2(a_1 + a_2 + \cdots a_n)(X - x)$.
Если положить в последнем выражении $x = \frac {a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}$, то оно будет положительным; действительно, мы будем иметь:
$[(X - a_1)^2 + (X - a_2)^2 + \cdots + (X - a_n)^2] - [(x-a_1)^2 + (x-a_2)^2 + \cdots + (x - a_n)^2] = n(X^2 - x^2) - 2nx (X - x) = n (X^2 - x^2 - 2Xx + 2x^2) = n(X - x)^2 \geq 0$.
Отсюда вытекает, что искомым значением $x$ является
$\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}$.
