Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2991
2019-05-06 
а) Что больше
$\frac {2,00000000004}{(1,00000000004)^2 + 200000000004}$ или $\frac {2,00000000002}{(1,00000000002)^2 + 200000000002}$?
б) Пусть $a > b > 0$. Что больше
$\frac {1 + a + a^2 + \cdots + a^{n-1}}{1 + a + a^2 + \cdots + a^n}$ или $\frac {1 + b + b^2 + \cdots + b^{n-1}}{1 + b + b^2 + \cdots + b^n}$?
Решение:
а) Обозначим 1,00000000004 через $\alpha$, a 1,00000000002 - через $\beta$. В таком случае фигурирующие в условии задачи выражения примут вид $\frac {1 + \alpha}{1 + \alpha + \alpha^2}$ и $\frac {1 + \beta}{1 + \beta + \beta^2}$. Так как $\alpha > \beta$, то, очевидно,
$\frac{1 + \alpha}{ \alpha^2} = \frac{1}{ \alpha^2} + \frac{1}{ \alpha} < \frac{1}{ \beta^2} + \frac{1}{ \beta} = \frac{1 + \beta}{ \beta^2}$; $\frac{ \alpha^2}{1+ \alpha} = 1 : \left ( \frac{1+ \alpha}{ \alpha^2} \right ) > 1 : \left ( \frac{1+ \beta}{\beta^2} \right ) = \frac{ \beta}{1+ \beta}$,
$\frac {1+ \alpha + \alpha^2}{1+ \alpha} = 1 + \frac{ \alpha^2}{1+ \alpha} > 1 + \frac{ \beta^2}{ 1+ \beta} = \frac {1+ \beta + \beta^2}{1+ \beta}$,
и наконец,
$\frac {1+ \alpha}{1+ \alpha + \alpha^2} = 1 : \left ( \frac {1+ \alpha + \alpha ^2}{1+ \alpha } \right ) < 1 : \left ( \frac {1+ \beta+ \beta^2}{1+ \beta} \right ) = \frac {1+ \beta }{1+ \beta + \beta^2}$.
Таким образом, второе из двух выражений больше первого.
б) Обозначим фигурирующие в условии задачи выражения соответственно через $А$ и $В$. Тогда, очевидно, имеем:
$\frac{1}{A} = 1 + \frac {a^n}{1 + a + a^2 + \cdots + a^{n-1}} = 1 + \frac {1}{ \frac{ 1 + a + a^2 + \cdots + a^{n-1}}{a^n}} = 1 + \frac {1}{ \frac{1}{a^n} + \frac{1}{a^{n-1}} + \cdots + \frac{1}{a} }$;
$\frac{1}{B} = 1 + \frac {1}{ \frac{1}{b^n} + \frac{1}{b^{n-1}} + \cdots + \frac{1}{b}}$.
Отсюда сразу следует, что $\frac{1}{A} > \frac{1}{B}$, следовательно, $В > А$.
а) Что больше
$\frac {2,00000000004}{(1,00000000004)^2 + 200000000004}$ или $\frac {2,00000000002}{(1,00000000002)^2 + 200000000002}$?
б) Пусть $a > b > 0$. Что больше
$\frac {1 + a + a^2 + \cdots + a^{n-1}}{1 + a + a^2 + \cdots + a^n}$ или $\frac {1 + b + b^2 + \cdots + b^{n-1}}{1 + b + b^2 + \cdots + b^n}$?
Решение:
а) Обозначим 1,00000000004 через $\alpha$, a 1,00000000002 - через $\beta$. В таком случае фигурирующие в условии задачи выражения примут вид $\frac {1 + \alpha}{1 + \alpha + \alpha^2}$ и $\frac {1 + \beta}{1 + \beta + \beta^2}$. Так как $\alpha > \beta$, то, очевидно,
$\frac{1 + \alpha}{ \alpha^2} = \frac{1}{ \alpha^2} + \frac{1}{ \alpha} < \frac{1}{ \beta^2} + \frac{1}{ \beta} = \frac{1 + \beta}{ \beta^2}$; $\frac{ \alpha^2}{1+ \alpha} = 1 : \left ( \frac{1+ \alpha}{ \alpha^2} \right ) > 1 : \left ( \frac{1+ \beta}{\beta^2} \right ) = \frac{ \beta}{1+ \beta}$,
$\frac {1+ \alpha + \alpha^2}{1+ \alpha} = 1 + \frac{ \alpha^2}{1+ \alpha} > 1 + \frac{ \beta^2}{ 1+ \beta} = \frac {1+ \beta + \beta^2}{1+ \beta}$,
и наконец,
$\frac {1+ \alpha}{1+ \alpha + \alpha^2} = 1 : \left ( \frac {1+ \alpha + \alpha ^2}{1+ \alpha } \right ) < 1 : \left ( \frac {1+ \beta+ \beta^2}{1+ \beta} \right ) = \frac {1+ \beta }{1+ \beta + \beta^2}$.
Таким образом, второе из двух выражений больше первого.
б) Обозначим фигурирующие в условии задачи выражения соответственно через $А$ и $В$. Тогда, очевидно, имеем:
$\frac{1}{A} = 1 + \frac {a^n}{1 + a + a^2 + \cdots + a^{n-1}} = 1 + \frac {1}{ \frac{ 1 + a + a^2 + \cdots + a^{n-1}}{a^n}} = 1 + \frac {1}{ \frac{1}{a^n} + \frac{1}{a^{n-1}} + \cdots + \frac{1}{a} }$;
$\frac{1}{B} = 1 + \frac {1}{ \frac{1}{b^n} + \frac{1}{b^{n-1}} + \cdots + \frac{1}{b}}$.
Отсюда сразу следует, что $\frac{1}{A} > \frac{1}{B}$, следовательно, $В > А$.
