Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2990
2019-05-06 
а) Доказать, что если $\alpha$ записывается десятичной дробью $0,999 \cdots$, начинающейся со 100 девяток, то и $\sqrt{ \alpha} = 0,999 \cdots$ записывается десятичной дробью, начинающейся со 100 девяток.
б) Вычислить значение корня $\sqrt { 0, \underbrace {1111 \cdots 111}_{100 \:единиц} }$ с точностью до 1) 100; 2) 101; 3) 200; 4) 300 знаков после запятой.
Решение:
а) Если число $\alpha$ меньше 1, то $\sqrt{ \alpha}$ меньше 1. Предположим теперь, что десятичная дробь, равная $\sqrt{ \alpha}$, начинается с меньшего числа девяток, чем 100; это означает, что $\sqrt{ \alpha} < 1 - \left ( \frac{1}{10} \right )^{100}$. Возводя обе части последнего неравенства в квадрат, получим:
$\alpha < 1 - 2 \left ( \frac{1}{10} \right )^{100} + \left ( \frac{1}{10} \right )^{200}$.
Но
$1 - 2 \left ( \frac{1}{10} \right )^{100} + \left ( \frac{1}{10} \right )^{200} < 1 - \left ( \frac{1}{10} \right )^{100}$; поэтому $\alpha < 1 - \left ( \frac{1}{10} \right )^{100}$
и, значит, десятичная дробь, равная $\alpha$, не может начинаться со 100 девяток.
б) Заметим, прежде всего что $\underbrace {0,1111 \cdots 111}_{100 \:единиц} = \frac{1}{9} \cdot \underbrace {0,9999 \cdots 999}_{{100 \:девяток}} = \frac{1}{9} \times \left ( 1 - \left ( \frac{1}{10} \right )^{100} \right )$; таким образом, нам требуется оценить $\frac{1}{3} \sqrt {1 - \left ( \frac{1}{10} \right )^{100} }$. Далее мы ограничимся рассмотрением одной лишь задачи 4), из результата которой вытекают и результаты остальных задач.
Известно, что при любом $а \leq 1$ имеет место неравенство $\sqrt {1 - a} < 1 - \frac{1}{2} a$, поскольку $\left ( 1 - \frac{1}{2} a \right )^2 = 1 - a + \frac{1}{4} a^2 > 1 - a$; поэтому
$\sqrt {1 - \left ( \frac{1}{10} \right )^{100}} < 1 - \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{10} \right )^{100} (= \underbrace {0,9999 \cdots 9995}_{100 \: девяток})$.
Уточним эту оценку - найдем два таких положительных числа $c_1$ и $c_2$, что
$1 - \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{10} \right )^{100} - c_1 \left ( \frac{1}{10} \right )^{200} > \sqrt {1 - \left ( \frac{1}{10} \right )^{100}} > 1 - \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{10} \right )^{100} - c_2 \left ( \frac{1}{10} \right )^{200}$.
Возведя в квадрат все члены двойного неравенства
$1 - \frac{1}{2} a - c_1 a^2 > \sqrt {1 - a} > 1 - \frac{1}{2} a - c_2a^2$,
получим:
$1 + \frac{1}{4}a^2 + c_1^2a^4 - a - 2c_1 a^2 + c_1a^3 > 1 - a > 1 + \frac{1}{4} a^2 + c_2^2a^4 - a - 2c_2a^2 + c_2^3$,
или, вычитая из всех частей неравенства $1 - а$ и сокращая затем на $а^2$:
$\left ( \frac{1}{4} - 2c_1 \right ) + c_1a + c_1^2a^2 > 0 > \left ( \frac{1}{4} - 2c_2 \right ) + c_2a + c_2^2a^2$
Нас интересует случай $a = \left ( \frac{1}{10} \right )^{100}$; покажем, что здесь можно, например, принять $c_1 = \frac{1}{8} + \frac{1}{100} a = 0,125 + \left ( \frac{1}{10} \right )^{102}$ и $c_2 = \frac{1}{8} + \frac{1}{10} a = 0,125 + \left ( \frac{1}{10} \right )^{101}$. Действительно, при любом $a > 0$ $\frac{1}{4} - 2 \left ( \frac{1}{8} + \frac{1}{100} a \right ) + \left ( \frac{1}{8} + \frac{1}{100} a \right ) a + \left( \frac{1}{8} + \frac{1}{100} a \right )^{2} a^2 = \left ( \frac{1}{8} - \frac{1}{50} \right )a + \cdots > 0$;
с другой стороны, при $a = \left ( \frac{1}{10} \right )^{100}$
$\frac{1}{4} - 2 \left ( \frac{1}{8} + \frac{1}{10} a \right ) + \left ( \frac{1}{8} + \frac{1}{10} a \right )a + \left ( \frac{1}{8} + \frac{1}{10} a \right )^2a^2 = - \left ( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right )a + \left [ \frac{1}{10} + \left ( \frac{1}{8} + \frac{1}{10} a \right )^2 \right ]a^2 < 0$,
поскольку $\left ( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right )a = \frac{3}{40} \left ( \frac{1}{10} \right )^{100}$ явно больше последнего члена неравенства, близкого к $\left ( \frac{1}{10} + \frac{1}{64} \right )a^2 = \frac{37}{320} a^2 = \frac{37}{320} \left ( \frac{1}{10} \right )^{200}$.
Таким образом, мы имеем
$1 - \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{10} \right )^{100} - \left (0,125 + \left ( \frac{1}{10} \right )^{102} \right ) \left ( \frac{1}{10} \right )^{200} > \sqrt {\underbrace {0,999 \cdots 99}_{100 \: цифр} } > 1 - \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{10} \right )^{100} - \left ( 0,125 + \left ( \frac{1}{10} \right )^{101} \right ) \left ( \frac{1}{10} \right )^{200}$.
Последнее двойное неравенство можно переписать так:
$0,\underbrace {9999 \cdots 999}_{100 \: девяток} 4\underbrace {9999 \cdots 999}_{99 \: девяток} 874\underbrace {9999 \cdots 999}_{99 \: девяток} > \sqrt {1 - \left ( \frac{1}{10} \right )^{100}} > 0,\underbrace {9999 \cdots 999}_{100 \: девяток} 4 \underbrace {9999 \cdots 999}_{99 \: девяток} 874 \underbrace {9999 \cdots 999}_{98 \: девяток}$.
откуда, деля на 3, получаем, что с точностью до 301 знака после запятой
$0,\underbrace {1111 \cdots 111}_{100 \: единиц} \approx \underbrace {3333 \cdots 333}_{100 \: троек} 16\underbrace {666 \cdots 666}_{100 \: шестерок} 24 \underbrace {999 \cdots 999}_{98 \: девяток}$.
а) Доказать, что если $\alpha$ записывается десятичной дробью $0,999 \cdots$, начинающейся со 100 девяток, то и $\sqrt{ \alpha} = 0,999 \cdots$ записывается десятичной дробью, начинающейся со 100 девяток.
б) Вычислить значение корня $\sqrt { 0, \underbrace {1111 \cdots 111}_{100 \:единиц} }$ с точностью до 1) 100; 2) 101; 3) 200; 4) 300 знаков после запятой.
Решение:
а) Если число $\alpha$ меньше 1, то $\sqrt{ \alpha}$ меньше 1. Предположим теперь, что десятичная дробь, равная $\sqrt{ \alpha}$, начинается с меньшего числа девяток, чем 100; это означает, что $\sqrt{ \alpha} < 1 - \left ( \frac{1}{10} \right )^{100}$. Возводя обе части последнего неравенства в квадрат, получим:
$\alpha < 1 - 2 \left ( \frac{1}{10} \right )^{100} + \left ( \frac{1}{10} \right )^{200}$.
Но
$1 - 2 \left ( \frac{1}{10} \right )^{100} + \left ( \frac{1}{10} \right )^{200} < 1 - \left ( \frac{1}{10} \right )^{100}$; поэтому $\alpha < 1 - \left ( \frac{1}{10} \right )^{100}$
и, значит, десятичная дробь, равная $\alpha$, не может начинаться со 100 девяток.
б) Заметим, прежде всего что $\underbrace {0,1111 \cdots 111}_{100 \:единиц} = \frac{1}{9} \cdot \underbrace {0,9999 \cdots 999}_{{100 \:девяток}} = \frac{1}{9} \times \left ( 1 - \left ( \frac{1}{10} \right )^{100} \right )$; таким образом, нам требуется оценить $\frac{1}{3} \sqrt {1 - \left ( \frac{1}{10} \right )^{100} }$. Далее мы ограничимся рассмотрением одной лишь задачи 4), из результата которой вытекают и результаты остальных задач.
Известно, что при любом $а \leq 1$ имеет место неравенство $\sqrt {1 - a} < 1 - \frac{1}{2} a$, поскольку $\left ( 1 - \frac{1}{2} a \right )^2 = 1 - a + \frac{1}{4} a^2 > 1 - a$; поэтому
$\sqrt {1 - \left ( \frac{1}{10} \right )^{100}} < 1 - \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{10} \right )^{100} (= \underbrace {0,9999 \cdots 9995}_{100 \: девяток})$.
Уточним эту оценку - найдем два таких положительных числа $c_1$ и $c_2$, что
$1 - \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{10} \right )^{100} - c_1 \left ( \frac{1}{10} \right )^{200} > \sqrt {1 - \left ( \frac{1}{10} \right )^{100}} > 1 - \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{10} \right )^{100} - c_2 \left ( \frac{1}{10} \right )^{200}$.
Возведя в квадрат все члены двойного неравенства
$1 - \frac{1}{2} a - c_1 a^2 > \sqrt {1 - a} > 1 - \frac{1}{2} a - c_2a^2$,
получим:
$1 + \frac{1}{4}a^2 + c_1^2a^4 - a - 2c_1 a^2 + c_1a^3 > 1 - a > 1 + \frac{1}{4} a^2 + c_2^2a^4 - a - 2c_2a^2 + c_2^3$,
или, вычитая из всех частей неравенства $1 - а$ и сокращая затем на $а^2$:
$\left ( \frac{1}{4} - 2c_1 \right ) + c_1a + c_1^2a^2 > 0 > \left ( \frac{1}{4} - 2c_2 \right ) + c_2a + c_2^2a^2$
Нас интересует случай $a = \left ( \frac{1}{10} \right )^{100}$; покажем, что здесь можно, например, принять $c_1 = \frac{1}{8} + \frac{1}{100} a = 0,125 + \left ( \frac{1}{10} \right )^{102}$ и $c_2 = \frac{1}{8} + \frac{1}{10} a = 0,125 + \left ( \frac{1}{10} \right )^{101}$. Действительно, при любом $a > 0$ $\frac{1}{4} - 2 \left ( \frac{1}{8} + \frac{1}{100} a \right ) + \left ( \frac{1}{8} + \frac{1}{100} a \right ) a + \left( \frac{1}{8} + \frac{1}{100} a \right )^{2} a^2 = \left ( \frac{1}{8} - \frac{1}{50} \right )a + \cdots > 0$;
с другой стороны, при $a = \left ( \frac{1}{10} \right )^{100}$
$\frac{1}{4} - 2 \left ( \frac{1}{8} + \frac{1}{10} a \right ) + \left ( \frac{1}{8} + \frac{1}{10} a \right )a + \left ( \frac{1}{8} + \frac{1}{10} a \right )^2a^2 = - \left ( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right )a + \left [ \frac{1}{10} + \left ( \frac{1}{8} + \frac{1}{10} a \right )^2 \right ]a^2 < 0$,
поскольку $\left ( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right )a = \frac{3}{40} \left ( \frac{1}{10} \right )^{100}$ явно больше последнего члена неравенства, близкого к $\left ( \frac{1}{10} + \frac{1}{64} \right )a^2 = \frac{37}{320} a^2 = \frac{37}{320} \left ( \frac{1}{10} \right )^{200}$.
Таким образом, мы имеем
$1 - \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{10} \right )^{100} - \left (0,125 + \left ( \frac{1}{10} \right )^{102} \right ) \left ( \frac{1}{10} \right )^{200} > \sqrt {\underbrace {0,999 \cdots 99}_{100 \: цифр} } > 1 - \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{10} \right )^{100} - \left ( 0,125 + \left ( \frac{1}{10} \right )^{101} \right ) \left ( \frac{1}{10} \right )^{200}$.
Последнее двойное неравенство можно переписать так:
$0,\underbrace {9999 \cdots 999}_{100 \: девяток} 4\underbrace {9999 \cdots 999}_{99 \: девяток} 874\underbrace {9999 \cdots 999}_{99 \: девяток} > \sqrt {1 - \left ( \frac{1}{10} \right )^{100}} > 0,\underbrace {9999 \cdots 999}_{100 \: девяток} 4 \underbrace {9999 \cdots 999}_{99 \: девяток} 874 \underbrace {9999 \cdots 999}_{98 \: девяток}$.
откуда, деля на 3, получаем, что с точностью до 301 знака после запятой
$0,\underbrace {1111 \cdots 111}_{100 \: единиц} \approx \underbrace {3333 \cdots 333}_{100 \: троек} 16\underbrace {666 \cdots 666}_{100 \: шестерок} 24 \underbrace {999 \cdots 999}_{98 \: девяток}$.
