Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2989
2019-05-06 
Пусть $\alpha$ - произвольное иррациональное число. Очевидно, что каково бы ни было целое число $n$, та из дробей ряда $\frac{0}{n} = 0, \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \frac{3}{n}, \cdots$, которая ближе всего к $\alpha$, отличается от $\alpha$ не больше чем на половину $\frac{1}{n}$. Доказать, что существуют такие $n$, для которых дробь со знаменателем $n$, наиболее близкая к $\alpha$, отличается от $\alpha$ меньше чем на $0,001 \cdot \frac{1}{n}$.
Решение:
Рассмотрим 1001 число
$0 \cdot \alpha = 0, \alpha, 2 \alpha, 3 \alpha, \cdots, 1000 \alpha$
и возьмем дробную часть каждого из этих чисел (разность между данным числом и наибольшим целым числом, не превосходящим данного). Эти дробные части будут представлять собой 1001 число, не превосходящее 1. Разделим теперь отрезок числовой оси от 0 до 1 на 1000 равных отрезков длины $\frac{1}{1000}$ (к каждому отрезку мы будем причислять его левый конец, но не причислять правый) и рассмотрим распределение точек, изображающих наши дробные части, по этим отрезкам. Так как число отрезков равно 1000, а число точек 1001, то, по крайней мере, в одном отрезке будут находиться две точки. Но это означает, что существуют два таких неравных числа $p$ и $q$ (оба не превосходящих 1000), что разность дробных долей чисел $p \alpha$ и $q \alpha$ меньше $\frac{1}{1000}$.
Пусть, например, $p > q$. Рассмотрим число $(p-q) \alpha = p \alpha - q \alpha$. Так как $p \alpha = P + d_1$, $q \alpha = Q + d_2$ где $P$ и $Q$ - целые числа, $d_1$ и $d_2$ - дробные доли $p \alpha$ и $q \alpha$, то $(p-q) \alpha = (P - Q) + d_1 - d_2$ отличается от целого числа $P - Q$ меньше чем на $\frac{1}{1000}$. Но это означает, что дробь $\frac {P-Q}{p-q}$ отличается от $\alpha$ меньше чем на $0,001 \cdot \frac{1}{p-q}$.
Пусть $\alpha$ - произвольное иррациональное число. Очевидно, что каково бы ни было целое число $n$, та из дробей ряда $\frac{0}{n} = 0, \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \frac{3}{n}, \cdots$, которая ближе всего к $\alpha$, отличается от $\alpha$ не больше чем на половину $\frac{1}{n}$. Доказать, что существуют такие $n$, для которых дробь со знаменателем $n$, наиболее близкая к $\alpha$, отличается от $\alpha$ меньше чем на $0,001 \cdot \frac{1}{n}$.
Решение:
Рассмотрим 1001 число
$0 \cdot \alpha = 0, \alpha, 2 \alpha, 3 \alpha, \cdots, 1000 \alpha$
и возьмем дробную часть каждого из этих чисел (разность между данным числом и наибольшим целым числом, не превосходящим данного). Эти дробные части будут представлять собой 1001 число, не превосходящее 1. Разделим теперь отрезок числовой оси от 0 до 1 на 1000 равных отрезков длины $\frac{1}{1000}$ (к каждому отрезку мы будем причислять его левый конец, но не причислять правый) и рассмотрим распределение точек, изображающих наши дробные части, по этим отрезкам. Так как число отрезков равно 1000, а число точек 1001, то, по крайней мере, в одном отрезке будут находиться две точки. Но это означает, что существуют два таких неравных числа $p$ и $q$ (оба не превосходящих 1000), что разность дробных долей чисел $p \alpha$ и $q \alpha$ меньше $\frac{1}{1000}$.
Пусть, например, $p > q$. Рассмотрим число $(p-q) \alpha = p \alpha - q \alpha$. Так как $p \alpha = P + d_1$, $q \alpha = Q + d_2$ где $P$ и $Q$ - целые числа, $d_1$ и $d_2$ - дробные доли $p \alpha$ и $q \alpha$, то $(p-q) \alpha = (P - Q) + d_1 - d_2$ отличается от целого числа $P - Q$ меньше чем на $\frac{1}{1000}$. Но это означает, что дробь $\frac {P-Q}{p-q}$ отличается от $\alpha$ меньше чем на $0,001 \cdot \frac{1}{p-q}$.
