Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2988
2019-05-06 
В десятичной записи положительного числа $a$ отброшены все десятичные знаки, начиная с четвертого знака после запятой, т. е. взято округление с недостатком $a_0$ числа $a$ с точностью до 0,001. Полученное число $a_0$ делится на само число $a$ и частное снова округляется с недостатком с той же точностью. Указать все числа, которые при этом могут получиться.
Решение:
Ясно, что при $a < 0,001$ округление $a_0$ числа $а$ равно 0, а значит, и частное $\frac{a_0}{a}$ (и любое округление этого частного) равно 0; поэтому далее мы будем считать, что $a \geq 0,001$. Но при этом, разумеется, и $a_0 \geq 0,001$, в то время как «погрешность приближения» $\alpha = a - a_{0} < 0,001$; поэтому интересующая нас дробь
$d = \frac{a_0}{a} = \frac{a - \alpha}{a} = 1 - \frac{\alpha}{a}$
заключена между 0 и 1: ясно, что $0 < d \leq 1$. Далее из того, что $\alpha < 0,001$, $a_0 > 0,001$, следует, что $\alpha < a_0$ и, значит, $\alpha + a = 2 \alpha < a_0 + \alpha = a$, откуда $\frac{\alpha}{a} < \frac{1}{2}$ и поэтому
$d = 1 - \frac{\alpha}{a} > \frac{1}{2}$ (и $d \leq 1$) (*)
- вот эта оценка дроби $d$ является уже окончательной, ибо отношение $\delta = \frac{ \alpha}{a}$ может принимать любое значение в пределах $0 \leq \delta < \frac{1}{2}$ (а значит, $d$ - любое значение в пределах $\frac{1}{2} < d \leq 1$). В самом деле, приняв $a_0$ равным 0,001, мы получим, что дробь $\delta = \frac{ \alpha}{a_0 + \alpha} = \frac{\alpha}{0,001 + \alpha}$, откуда
$\alpha = 0,001 \frac{ \delta} {1 - \delta}$; (**)
такое $\alpha$ при любом $\delta$ (где $0 \leq \delta < \frac{1}{2}$) удовлетворяет неравенству $0 \leq \alpha < 0,001$, а соответствующее $a = 0,001 + \alpha$ отвечает значению $d = 1 - \delta$. Ясно, что если $\delta$ пробегает все значения между 0 и $\frac{1}{2}$, то $d$ принимает все значения от $\frac{1}{2}$, до 1, т. е. $d$ может иметь любое из следующих значений $0; 0,5; 0,501; 0,502; \cdots; 0,999; 1$.
В десятичной записи положительного числа $a$ отброшены все десятичные знаки, начиная с четвертого знака после запятой, т. е. взято округление с недостатком $a_0$ числа $a$ с точностью до 0,001. Полученное число $a_0$ делится на само число $a$ и частное снова округляется с недостатком с той же точностью. Указать все числа, которые при этом могут получиться.
Решение:
Ясно, что при $a < 0,001$ округление $a_0$ числа $а$ равно 0, а значит, и частное $\frac{a_0}{a}$ (и любое округление этого частного) равно 0; поэтому далее мы будем считать, что $a \geq 0,001$. Но при этом, разумеется, и $a_0 \geq 0,001$, в то время как «погрешность приближения» $\alpha = a - a_{0} < 0,001$; поэтому интересующая нас дробь
$d = \frac{a_0}{a} = \frac{a - \alpha}{a} = 1 - \frac{\alpha}{a}$
заключена между 0 и 1: ясно, что $0 < d \leq 1$. Далее из того, что $\alpha < 0,001$, $a_0 > 0,001$, следует, что $\alpha < a_0$ и, значит, $\alpha + a = 2 \alpha < a_0 + \alpha = a$, откуда $\frac{\alpha}{a} < \frac{1}{2}$ и поэтому
$d = 1 - \frac{\alpha}{a} > \frac{1}{2}$ (и $d \leq 1$) (*)
- вот эта оценка дроби $d$ является уже окончательной, ибо отношение $\delta = \frac{ \alpha}{a}$ может принимать любое значение в пределах $0 \leq \delta < \frac{1}{2}$ (а значит, $d$ - любое значение в пределах $\frac{1}{2} < d \leq 1$). В самом деле, приняв $a_0$ равным 0,001, мы получим, что дробь $\delta = \frac{ \alpha}{a_0 + \alpha} = \frac{\alpha}{0,001 + \alpha}$, откуда
$\alpha = 0,001 \frac{ \delta} {1 - \delta}$; (**)
такое $\alpha$ при любом $\delta$ (где $0 \leq \delta < \frac{1}{2}$) удовлетворяет неравенству $0 \leq \alpha < 0,001$, а соответствующее $a = 0,001 + \alpha$ отвечает значению $d = 1 - \delta$. Ясно, что если $\delta$ пробегает все значения между 0 и $\frac{1}{2}$, то $d$ принимает все значения от $\frac{1}{2}$, до 1, т. е. $d$ может иметь любое из следующих значений $0; 0,5; 0,501; 0,502; \cdots; 0,999; 1$.
