Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2986
2019-05-06 
Дискриминант $\Delta = p^2 - 4q$ квадратного уравнения $x^2+px+q = 0$ имеет величину порядка 10; доказать, что если при округлении свободного члена $q$ уравнения мы изменили его на величину порядка 0,01, то значения корней уравнения изменятся на величину порядка 0,001.
Решение:
Пусть $x^2 + px + q = 0$ и $y^2 + py + q_1 = 0$ - исходное и «округленное» уравнения, где $|q_1 - q| = |\epsilon| \approx 0,01$. Вычитая второе уравнение из первого, найдем: $(x^2 - y^2) + p(x-y) = q_1 - q = \epsilon$, или $(x-y)(x+y+p) = \epsilon$, откуда, обозначив через $x_1$ и $у_1$ близкие друг другу корни двух наших уравнений, а через $x_2$ - второй корень первого из этих уравнений, так что - $(x_1 + x_2) = p$, получим:
$|y_1 - x_1| = \frac {\epsilon}{|x_1 + y_1 + p|} \approx \frac {\epsilon}{|2x_1 - (x_1 + x_2)|} = \frac {\epsilon}{|x_1 - x_2|} = \frac {|\epsilon|}{\Delta}$
- что нам и требовалось доказать.
Дискриминант $\Delta = p^2 - 4q$ квадратного уравнения $x^2+px+q = 0$ имеет величину порядка 10; доказать, что если при округлении свободного члена $q$ уравнения мы изменили его на величину порядка 0,01, то значения корней уравнения изменятся на величину порядка 0,001.
Решение:
Пусть $x^2 + px + q = 0$ и $y^2 + py + q_1 = 0$ - исходное и «округленное» уравнения, где $|q_1 - q| = |\epsilon| \approx 0,01$. Вычитая второе уравнение из первого, найдем: $(x^2 - y^2) + p(x-y) = q_1 - q = \epsilon$, или $(x-y)(x+y+p) = \epsilon$, откуда, обозначив через $x_1$ и $у_1$ близкие друг другу корни двух наших уравнений, а через $x_2$ - второй корень первого из этих уравнений, так что - $(x_1 + x_2) = p$, получим:
$|y_1 - x_1| = \frac {\epsilon}{|x_1 + y_1 + p|} \approx \frac {\epsilon}{|2x_1 - (x_1 + x_2)|} = \frac {\epsilon}{|x_1 - x_2|} = \frac {|\epsilon|}{\Delta}$
- что нам и требовалось доказать.
