Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2985
2019-05-06 
При каких рациональных $x$ выражение $3x^2 - 5x + 9$ будет представлять собой квадрат рационального числа?
Решение:
Первое решение. В задаче требуется найти все рациональные решения ($x, у$) (где $y \geq 0$) уравнения $3x^2 - 5x + 9 = y^2$ с двумя неизвестными $x$ и $у$. Очевидно, что одно решение имеет вид $x = 0$, $у = 3$. Положим $x = x_1$, $y = y_1 + 3$; тогда получим:
$3x_1^2 - y_1^2 - 5x_1 - 6y_1 = 0$.
Для всякого решения ($x_1, y_1$), отличного от (0, 0), $\frac{y_1}{x_1} = \frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ - взаимно простые целые числа, $y_1 = x_1 \cdot \left( \frac{m}{n} \right )$; следовательно, имеем:
$3x_1^2 - \frac{m^2}{n^2} x_1^2 - 5x_1 - 6 \frac{m}{n} x_1 = 0$,
или, поскольку $x \neq 0$, $x_1 = \frac {5n^2 + 6mn}{3n^2 - m^2}$. Формула $x = \frac {5n^2 + 6mn}{3n^2 - m^2}$ и дает полный ответ на вопрос задачи (ответ $x = 0$ получается при $n = 0$).
Второе решение. Если ($x, у$) - рациональная точка кривой второго порядка (гиперболы) $y^2 = 3x^2 - 5x + 9$, то отношение $k = \frac{y-3}{x}$ рационально (может быть, бесконечно). С другой стороны, если $k$ рационально, то прямая $y = kx + 3$ пересекает кривую в двух рациональных точках: (0, 3) и $\left ( \frac {6k+5}{3 - k^2}, \frac {3k^2 + 5k + 9}{3 - k^2} \right )$. Отсюда следует, что все рациональные точки кривой отвечают таким $x$, что $x = \frac {6k+5}{3 - k^2}$.
Ответ: При $х = \frac {6k+5}{3 - k^2}$, где $k$ - рационально.
При каких рациональных $x$ выражение $3x^2 - 5x + 9$ будет представлять собой квадрат рационального числа?
Решение:
Первое решение. В задаче требуется найти все рациональные решения ($x, у$) (где $y \geq 0$) уравнения $3x^2 - 5x + 9 = y^2$ с двумя неизвестными $x$ и $у$. Очевидно, что одно решение имеет вид $x = 0$, $у = 3$. Положим $x = x_1$, $y = y_1 + 3$; тогда получим:
$3x_1^2 - y_1^2 - 5x_1 - 6y_1 = 0$.
Для всякого решения ($x_1, y_1$), отличного от (0, 0), $\frac{y_1}{x_1} = \frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ - взаимно простые целые числа, $y_1 = x_1 \cdot \left( \frac{m}{n} \right )$; следовательно, имеем:
$3x_1^2 - \frac{m^2}{n^2} x_1^2 - 5x_1 - 6 \frac{m}{n} x_1 = 0$,
или, поскольку $x \neq 0$, $x_1 = \frac {5n^2 + 6mn}{3n^2 - m^2}$. Формула $x = \frac {5n^2 + 6mn}{3n^2 - m^2}$ и дает полный ответ на вопрос задачи (ответ $x = 0$ получается при $n = 0$).
Второе решение. Если ($x, у$) - рациональная точка кривой второго порядка (гиперболы) $y^2 = 3x^2 - 5x + 9$, то отношение $k = \frac{y-3}{x}$ рационально (может быть, бесконечно). С другой стороны, если $k$ рационально, то прямая $y = kx + 3$ пересекает кривую в двух рациональных точках: (0, 3) и $\left ( \frac {6k+5}{3 - k^2}, \frac {3k^2 + 5k + 9}{3 - k^2} \right )$. Отсюда следует, что все рациональные точки кривой отвечают таким $x$, что $x = \frac {6k+5}{3 - k^2}$.
Ответ: При $х = \frac {6k+5}{3 - k^2}$, где $k$ - рационально.
