Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2984
2019-05-06 
Даны две бочки бесконечно большой емкости. Можно ли, пользуясь двумя ковшами емкости $\sqrt{2}$ литров и $2 - \sqrt{2}$ литров, перелить из одной из них в другую ровно 1 литр воды?
Решение:
Нельзя. В самом деле, пусть мы $k_1$ раз переливали воду из 1-й бочки во 2-ю первым ковшом и $k_2$ раз переливали тем же ковшом воду из 2-й бочки в 1-ю; окончательно мы при этом перелили из 1 -й бочки во 2-ю $(k_1 - k_2) \sqrt{2} = k \cdot \sqrt{2}$ литров воды, где целое число $k = k_1 - k_2$ может быть и неположительным. Аналогично, переливая воду $l_1$ раз из 1-й бочки во 2-ю вторым ковшом и $l_2$ раз тем же ковшом переливая воду из 2-й бочки в 1-ю, мы всего перельем из 1-й бочки во 2-ю $(l_1 - l_2)(2 - \sqrt{2}) = l \cdot (2 - \sqrt{2})$ литров воды, где число $l$ - целое; поэтому условие задачи требует выполнения равенства $k \sqrt{2} + l (2 - \sqrt{2}) = 1$, или $(l-k) \sqrt 2 = 2l - 1$, т. е. $\sqrt 2 = \frac {2l - 1}{l - k}$. Но так как число $\sqrt{2}$ - иррациональное, то последнее равенство может иметь место (при целых $k$ и $l$), лишь если $l - k = 0$ (т. е. $l = k$] и $2l - 1 = 0$, откуда $l = \frac{1}{2}$ , что, однако, невозможно, ибо $l$ - целое число.
Даны две бочки бесконечно большой емкости. Можно ли, пользуясь двумя ковшами емкости $\sqrt{2}$ литров и $2 - \sqrt{2}$ литров, перелить из одной из них в другую ровно 1 литр воды?
Решение:
Нельзя. В самом деле, пусть мы $k_1$ раз переливали воду из 1-й бочки во 2-ю первым ковшом и $k_2$ раз переливали тем же ковшом воду из 2-й бочки в 1-ю; окончательно мы при этом перелили из 1 -й бочки во 2-ю $(k_1 - k_2) \sqrt{2} = k \cdot \sqrt{2}$ литров воды, где целое число $k = k_1 - k_2$ может быть и неположительным. Аналогично, переливая воду $l_1$ раз из 1-й бочки во 2-ю вторым ковшом и $l_2$ раз тем же ковшом переливая воду из 2-й бочки в 1-ю, мы всего перельем из 1-й бочки во 2-ю $(l_1 - l_2)(2 - \sqrt{2}) = l \cdot (2 - \sqrt{2})$ литров воды, где число $l$ - целое; поэтому условие задачи требует выполнения равенства $k \sqrt{2} + l (2 - \sqrt{2}) = 1$, или $(l-k) \sqrt 2 = 2l - 1$, т. е. $\sqrt 2 = \frac {2l - 1}{l - k}$. Но так как число $\sqrt{2}$ - иррациональное, то последнее равенство может иметь место (при целых $k$ и $l$), лишь если $l - k = 0$ (т. е. $l = k$] и $2l - 1 = 0$, откуда $l = \frac{1}{2}$ , что, однако, невозможно, ибо $l$ - целое число.
