Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2983
2019-05-06 
Существуют ли такие рациональные числа $x, у, z$ и $t$, что при некотором натуральном $n$
$(x + y \sqrt{2})^{2n} + (z + t \sqrt{2})^{2n} = 5 + 4 \sqrt{2}$?
Решение:
Заметим, прежде всего, что вещественное число $\alpha$ не может двумя разными способами быть представлено в виде суммы $\alpha = x + y \sqrt{2}$, где $х$ и $у$ рациональны, ибо если $\alpha = a+ b \sqrt{2} = a_1 + b_1 \sqrt{2}$ (где $а, b, a_1, b_1$ рациональны), то $\sqrt{2} = \frac {a-a_1}{b_1 - b}$, что (в силу рациональности разностей $а - a_1$ и $b - b_1$ и иррациональности числа $\sqrt{2}$) возможно лишь при $а = a_1$, и $b = b_1$. Таким образом, из выписанного в условии задачи равенства, которое можно «развернуть» по формулам бинома Ньютона:
$(X = Y \sqrt{2}) + (Z + T \sqrt{2}) = 5 + 4 \sqrt{2}$,
где
$X = x^{2n} + C_{2n}^2 x^{2n-2} \cdot 2y^2 + \cdots$;
$Y = C_{2n}^1 x^{2n-1} C_{2n}^3 x^{2n-3} \cdot 2y^3 + \cdots$,
и т. д., вытекает
$X + Z = 5$ и $Y + T = 4$. (*)
Вычтя теперь почленно из первого из равенств (*) второе равенство, умноженное на $\sqrt 2$, получим:
$(X - Y \sqrt{2}) + (Z - T \sqrt{2}) = 5 - 4 \sqrt{2}$, или $(x - y \sqrt{2})^{2n} + (z - t \sqrt{2})^{2n} = 5 - 4 \sqrt{2}$, (**)
которое, таким образом, обязательно должно выполняться, если только имеет место выписанное в условии задачи равенство. Однако из второй формы равенства (**) сразу следует его невозможность, ибо здесь левая часть равенства положительна, а его правая часть - отрицательна. Отсюда и вытекает, что и выписанное в условии задачи равенство не может иметь места.
Ответ: Не существуют.
Существуют ли такие рациональные числа $x, у, z$ и $t$, что при некотором натуральном $n$
$(x + y \sqrt{2})^{2n} + (z + t \sqrt{2})^{2n} = 5 + 4 \sqrt{2}$?
Решение:
Заметим, прежде всего, что вещественное число $\alpha$ не может двумя разными способами быть представлено в виде суммы $\alpha = x + y \sqrt{2}$, где $х$ и $у$ рациональны, ибо если $\alpha = a+ b \sqrt{2} = a_1 + b_1 \sqrt{2}$ (где $а, b, a_1, b_1$ рациональны), то $\sqrt{2} = \frac {a-a_1}{b_1 - b}$, что (в силу рациональности разностей $а - a_1$ и $b - b_1$ и иррациональности числа $\sqrt{2}$) возможно лишь при $а = a_1$, и $b = b_1$. Таким образом, из выписанного в условии задачи равенства, которое можно «развернуть» по формулам бинома Ньютона:
$(X = Y \sqrt{2}) + (Z + T \sqrt{2}) = 5 + 4 \sqrt{2}$,
где
$X = x^{2n} + C_{2n}^2 x^{2n-2} \cdot 2y^2 + \cdots$;
$Y = C_{2n}^1 x^{2n-1} C_{2n}^3 x^{2n-3} \cdot 2y^3 + \cdots$,
и т. д., вытекает
$X + Z = 5$ и $Y + T = 4$. (*)
Вычтя теперь почленно из первого из равенств (*) второе равенство, умноженное на $\sqrt 2$, получим:
$(X - Y \sqrt{2}) + (Z - T \sqrt{2}) = 5 - 4 \sqrt{2}$, или $(x - y \sqrt{2})^{2n} + (z - t \sqrt{2})^{2n} = 5 - 4 \sqrt{2}$, (**)
которое, таким образом, обязательно должно выполняться, если только имеет место выписанное в условии задачи равенство. Однако из второй формы равенства (**) сразу следует его невозможность, ибо здесь левая часть равенства положительна, а его правая часть - отрицательна. Отсюда и вытекает, что и выписанное в условии задачи равенство не может иметь места.
Ответ: Не существуют.
