Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2982
2019-05-06 
Известно, что $A$ имеет вид $A = \left ( \frac {n + \sqrt {n^2 - 4}}{2} \right )^m$, где $m, n \geq 2$ - натуральные числа. Доказать, что $A$ можно также представить в виде $A = \frac {k + \sqrt {k^2 - 4}}{2}$, где $k$ - натуральное число.
Решение:
Обозначим $\frac {n+ \sqrt {n^2 - 4}}{2}$; в таком случае
$\frac{1}{x} = \frac {2}{n + \sqrt {n^2 - 4}} = \frac {2(n - \sqrt {n^2 - 4})}{4} = \frac {n - \sqrt {n^2 - 4}}{2}$,
так что $x$ удовлетворяет квадратному уравнению $x + \frac{1}{x} = n$. Но если число $x + \frac{1}{x}$ - целое (= $n$), то число $x^m + \frac{1}{x^m}$ – тоже целое, что легко доказывается методом математической индукции: если считать уже известным, что все числа $a_i = x^i + \frac{1}{x^i}$ при всех $i \leq N$ - целые, то и $a_{N+1} = x^{N+1} + \frac{1}{x^{N+1}}$ – тоже целое, как это вытекает из следующей выкладки:
$a_Na_1 = \left (x^N + \frac{1}{x^N} \right ) \left ( x+ \frac{1}{x} \right ) = \left (x^{N+1} + \frac{1}{x^{N+1}} \right ) + \left (x^{N-1} + \frac{1}{x^{N-1}} \right ) = a_{N+1} + a_{N-1}$,
откуда
$a_{N+1} = a_Na_1 - a_{N-1}$.
Таким образом, обозначив $x^m = у$, мы имеем $y + \frac{1}{y} = k$, где $k (= a_m)$ – натуральное число; решая это квадратное уравнение относительно $у$, получаем $y = \frac {k \pm \sqrt {k^2 - 4}}{2}$. Но так как $x = \frac {n + \sqrt {n^2 - 4}}{2} > 1$, то и $x^m = y > 1$, откуда и следует, что $y = x^m = A = \frac {k+ \sqrt {k^2 - 4}}{2}$ (а $\frac{1}{x^m} = \frac {k - \sqrt {k^2 - 4}}{2} < 1$).
Известно, что $A$ имеет вид $A = \left ( \frac {n + \sqrt {n^2 - 4}}{2} \right )^m$, где $m, n \geq 2$ - натуральные числа. Доказать, что $A$ можно также представить в виде $A = \frac {k + \sqrt {k^2 - 4}}{2}$, где $k$ - натуральное число.
Решение:
Обозначим $\frac {n+ \sqrt {n^2 - 4}}{2}$; в таком случае
$\frac{1}{x} = \frac {2}{n + \sqrt {n^2 - 4}} = \frac {2(n - \sqrt {n^2 - 4})}{4} = \frac {n - \sqrt {n^2 - 4}}{2}$,
так что $x$ удовлетворяет квадратному уравнению $x + \frac{1}{x} = n$. Но если число $x + \frac{1}{x}$ - целое (= $n$), то число $x^m + \frac{1}{x^m}$ – тоже целое, что легко доказывается методом математической индукции: если считать уже известным, что все числа $a_i = x^i + \frac{1}{x^i}$ при всех $i \leq N$ - целые, то и $a_{N+1} = x^{N+1} + \frac{1}{x^{N+1}}$ – тоже целое, как это вытекает из следующей выкладки:
$a_Na_1 = \left (x^N + \frac{1}{x^N} \right ) \left ( x+ \frac{1}{x} \right ) = \left (x^{N+1} + \frac{1}{x^{N+1}} \right ) + \left (x^{N-1} + \frac{1}{x^{N-1}} \right ) = a_{N+1} + a_{N-1}$,
откуда
$a_{N+1} = a_Na_1 - a_{N-1}$.
Таким образом, обозначив $x^m = у$, мы имеем $y + \frac{1}{y} = k$, где $k (= a_m)$ – натуральное число; решая это квадратное уравнение относительно $у$, получаем $y = \frac {k \pm \sqrt {k^2 - 4}}{2}$. Но так как $x = \frac {n + \sqrt {n^2 - 4}}{2} > 1$, то и $x^m = y > 1$, откуда и следует, что $y = x^m = A = \frac {k+ \sqrt {k^2 - 4}}{2}$ (а $\frac{1}{x^m} = \frac {k - \sqrt {k^2 - 4}}{2} < 1$).
