Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2981
2019-05-06 
Доказать, что $\sqrt [3]{2}$ нельзя представить в виде $p + q \sqrt r$, где $p, q, r$ - рациональные числа.
Решение:
Предположим, что $\sqrt [3]{2} = p + q \sqrt{r}$, и возведем обе части этого равенства в куб. В таком случае получим:
$2 = p^3 + 3p^2q \sqrt{r} + 3pq^2r + q^3r \sqrt{r}$,
или
$2 = p(p^2 + 3q^2r) + q(3p^2 + q^2r) \sqrt{r}$.
Покажем теперь, что если $\sqrt [3]{2} = p + q \sqrt{r}$ , то $\sqrt [3]{2}$ есть рациональное число. Действительно, если $q = 0$, то $\sqrt [3]{2} = p$ есть рациональное число. Если $q \neq 0$ и $3p^2 + q^2r \neq 0$, то из последнего равенства следует
$\sqrt{r} = \frac {2 - p (p^2 + 3q^2r}{q(3p^2 + q^2r)}$,
откуда
$\sqrt [3]{2} = p + q \frac {2 - p(p^2 + 3q^2r)}{q(3p^2 + q^2r)}$,
т. е. опять рационально. Если же $3p^2 + q^2r = 0$, то
$q^2r = - 3p^2, 2 = p[p^2 + 3(-3p^2)] = -8p^3$,
и опять $\sqrt [3]{2} = -2p$ есть число рациональное.
Таким образом, нам остается только показать, что $\sqrt [3]{2}$ не является рациональным числом. Это доказательство хорошо известно. В самом деле, если $\sqrt [3]{2}$ равен несократимой дроби $\frac{m}{n}$, то $2 = \frac{m^3}{n^3}$, $m^3 = 2n^3$. Таким образом, число $m^3$ (а также и $m$) есть четное число, следовательно, оно делится на 8. В таком случае $n^3 = \frac{m^3}{2}$ тоже должно быть четным, а следовательно, и $n$ четно, что противоречит предположению о несократимости дроби $\frac{m}{n}$. Итак, предположение, что $\sqrt [3]{2} = p + q \sqrt{r}$, привело нас к абсурду.
Доказать, что $\sqrt [3]{2}$ нельзя представить в виде $p + q \sqrt r$, где $p, q, r$ - рациональные числа.
Решение:
Предположим, что $\sqrt [3]{2} = p + q \sqrt{r}$, и возведем обе части этого равенства в куб. В таком случае получим:
$2 = p^3 + 3p^2q \sqrt{r} + 3pq^2r + q^3r \sqrt{r}$,
или
$2 = p(p^2 + 3q^2r) + q(3p^2 + q^2r) \sqrt{r}$.
Покажем теперь, что если $\sqrt [3]{2} = p + q \sqrt{r}$ , то $\sqrt [3]{2}$ есть рациональное число. Действительно, если $q = 0$, то $\sqrt [3]{2} = p$ есть рациональное число. Если $q \neq 0$ и $3p^2 + q^2r \neq 0$, то из последнего равенства следует
$\sqrt{r} = \frac {2 - p (p^2 + 3q^2r}{q(3p^2 + q^2r)}$,
откуда
$\sqrt [3]{2} = p + q \frac {2 - p(p^2 + 3q^2r)}{q(3p^2 + q^2r)}$,
т. е. опять рационально. Если же $3p^2 + q^2r = 0$, то
$q^2r = - 3p^2, 2 = p[p^2 + 3(-3p^2)] = -8p^3$,
и опять $\sqrt [3]{2} = -2p$ есть число рациональное.
Таким образом, нам остается только показать, что $\sqrt [3]{2}$ не является рациональным числом. Это доказательство хорошо известно. В самом деле, если $\sqrt [3]{2}$ равен несократимой дроби $\frac{m}{n}$, то $2 = \frac{m^3}{n^3}$, $m^3 = 2n^3$. Таким образом, число $m^3$ (а также и $m$) есть четное число, следовательно, оно делится на 8. В таком случае $n^3 = \frac{m^3}{2}$ тоже должно быть четным, а следовательно, и $n$ четно, что противоречит предположению о несократимости дроби $\frac{m}{n}$. Итак, предположение, что $\sqrt [3]{2} = p + q \sqrt{r}$, привело нас к абсурду.
