Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2978
2019-05-06 
Может ли выражение
$(a_1 + a_2 + \cdots + a_{999} + a_{1000})^2 = a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_{999}^2 + a_{1000}^2 + 2a_1a_2 + 2a_1a_3 + 2a_1a_3 + \cdots + 2a_{999}a_{100}$,
где некоторые из чисел $a_1, a_2, \cdots, a_{999}, a_{1000}$ положительны, а другие отрицательны, содержать одинаковое число положительных и отрицательных попарных произведений? Рассмотрите аналогичную задачу для выражения
$(a_1 + a_2 + \cdots + a_{9999} + a_{10000})^2$.
Решение:
Предположим, что сумма $a_1 + a_2 + \cdots + a_{1000}$ содержит $n$ положительных и $1000 – n$ отрицательных членов. В таком случае все попарные произведения $n$ положительных членов (их, очевидно, $\frac{n(n-1)}{2}$) и все попарные произведения $1000 - n$ отрицательных членов $1000 - n$ (их число равно $\frac {(1000 - n)(1000 - n - 1)}{2}$ будут положительными, а произведения положительных членов на отрицательные (их будет $n(1000 - n)$) - отрицательны. Условие задачи требует, чтобы было
$\frac{n(n-1)}{2} + \frac {(1000 - n)(1000 - n - 1)}{2} = n(1000 - n)$;
или
$\frac {n^2 - n + (1000 - n)^2 - (1000 - n)}{2} = 1000n - n^2$,
$2n^2 - 2000n + \frac{999000}{2} = 0$,
$n = \frac {1000 \pm \sqrt {1000000 - 999000}}{2} = \frac {1000 \pm \sqrt 1000}{2}$,
а это, очевидно, невозможно.
В случае второго выражения мы, рассуждая аналогично, придем к условию
$n = \frac {10000 \pm \sqrt 10000}{2} = \frac {10000 \pm 100}{2}$
Отсюда следует, что это выражение может содержать равное число положительных и отрицательных удвоенных произведений; для этого достаточно, чтобы исходный многочлен содержал $\frac{10000 + 100}{2} = 5050$ положительных членов и $\frac{10000 - 100}{2} = 4950$ отрицательных (или 5050 отрицательных членов и 4950 положительных).
Может ли выражение
$(a_1 + a_2 + \cdots + a_{999} + a_{1000})^2 = a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_{999}^2 + a_{1000}^2 + 2a_1a_2 + 2a_1a_3 + 2a_1a_3 + \cdots + 2a_{999}a_{100}$,
где некоторые из чисел $a_1, a_2, \cdots, a_{999}, a_{1000}$ положительны, а другие отрицательны, содержать одинаковое число положительных и отрицательных попарных произведений? Рассмотрите аналогичную задачу для выражения
$(a_1 + a_2 + \cdots + a_{9999} + a_{10000})^2$.
Решение:
Предположим, что сумма $a_1 + a_2 + \cdots + a_{1000}$ содержит $n$ положительных и $1000 – n$ отрицательных членов. В таком случае все попарные произведения $n$ положительных членов (их, очевидно, $\frac{n(n-1)}{2}$) и все попарные произведения $1000 - n$ отрицательных членов $1000 - n$ (их число равно $\frac {(1000 - n)(1000 - n - 1)}{2}$ будут положительными, а произведения положительных членов на отрицательные (их будет $n(1000 - n)$) - отрицательны. Условие задачи требует, чтобы было
$\frac{n(n-1)}{2} + \frac {(1000 - n)(1000 - n - 1)}{2} = n(1000 - n)$;
или
$\frac {n^2 - n + (1000 - n)^2 - (1000 - n)}{2} = 1000n - n^2$,
$2n^2 - 2000n + \frac{999000}{2} = 0$,
$n = \frac {1000 \pm \sqrt {1000000 - 999000}}{2} = \frac {1000 \pm \sqrt 1000}{2}$,
а это, очевидно, невозможно.
В случае второго выражения мы, рассуждая аналогично, придем к условию
$n = \frac {10000 \pm \sqrt 10000}{2} = \frac {10000 \pm 100}{2}$
Отсюда следует, что это выражение может содержать равное число положительных и отрицательных удвоенных произведений; для этого достаточно, чтобы исходный многочлен содержал $\frac{10000 + 100}{2} = 5050$ положительных членов и $\frac{10000 - 100}{2} = 4950$ отрицательных (или 5050 отрицательных членов и 4950 положительных).
