ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-05-06   
Доказать, что если $x_1$ и $x_2$ - корни уравнения $x^2 - 6x + 1 = 0$, то $x_1^n + x_2^n$ при любом целом $n$ является целым числом, не делящимся на 5.


Решение:


Предложение задачи является справедливым при $n = 1$ и $n = 2$, ибо

$x_1^0 + x_2^0 = 1 + 1 = 2$, $x_1 + x_2 = 6$, $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (6)^2 - 2 \cdot 1 = 34$.

Далее мы имеем:

$x_1^n + x_2^n = (x_1 + x_2)(x_1^{n-1} + x_2^{n-1}) - x_1x_2 (x_1^{n-2} + x_2^{n-2}) = 6 (x_1^{n-1} + x_2^{n-1}) - 1 \cdot (x_1^{n-2} + x_2^{n-2})$,

или

$x_1^n + x_2^n = 5 (x_1^{n-1} + x_2^{n-1}) + [(x_1^{n-1} + x_2^{n-1}(x_1^{n-2} + x_2^{n-2})]$. (*)

Из этой формулы прежде всего следует, что если $x_1^{n-2} + x_2^{n-2}$ и $x_1^{n-1} + x_2^{n-1}$ – целые числа, то и $x_1^n + x_2^n$ – целое число, откуда, в силу принципа математической индукции, вытекает первое утверждение задачи.

Пусть теперь $n$ есть первое натуральное число, такое, что $x_1^n + x_2^n$ делится на 5. Из формулы (*) следует, что в этом случае разность $(x_1^{n-1} + x_2^{n-1}) - (x_1^{n-2} + x_2^{n-2})$ также должна делиться на 5. Но, заменив в формуле (*) $n$ на $n - 1$, мы получим:

$(x_1^{n-1} + x_2^{n-1}) = 5 (x_1^{n-2} + x_2^{n-2}) + (x_1^{n-2} + x_2^{n-2}) - (x_1^{n-3} + x_2^{n-3})$,

откуда следует, что

$(x_1^{n-3} + x_2^{n-3}) = 5 (x_1^{n-2} + x_2^{n-2}) - [(x_1^{n-1} + x_2^{n-1}) - (x_1^{n-2} + x_2^{n-2})]$

тоже должно делиться на 5, что противоречит предположению о том, что для всех чисел $m$, меньших n, $x_1^m + x_2^m$ не делится на 5. Отсюда следует, что такого целого положительного $n$, для которого $x_1^n + x_2^n$ делится на 5, вовсе не может существовать. Легко видеть, что утверждение задачи верно и для целых отрицательных $n$: если $n < 0$, то

$x_1^n + x_2^n = \frac{1}{x_1^{-n}} + \frac{1}{x_2^{-n}} = \frac {x_1^{-n} + x_2^{-n}}{(x_1x_2)^{-n}} = x_1^{-n} + x_2^{-n}$

- целое число, не делящееся на 5, так как - $n > 0$.