Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2976
2019-05-06 
1973 положительных числа $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_{1973}$ таковы, что
$a_1^{a_2} = a_2^{a_3} = a_3^{a_4} = \cdots = (a_{1972})^{a_{1973}} = (a_{1973})^{a_1}$.
Доказать, что $a_1 = a_{1973}$.
Решение:
Мы утверждаем, что все наши 1973 числа одинаковы. В самом деле, пусть, это не так и, скажем, $a_1 = a_2 = a_3 = \cdots = a_i \neq a_{i+1}$. Для простоты перенумеруем наши числа циклически, присвоив номер 1 числу $a_i$, номер 2 - числу $a_{i+1}$, и т. д. - вплоть до числа $a_{i-n}$, которое теперь получит номер 1973. Итак, далее мы будем считать, что наши числа не все равны, причем $a_1 \neq a_2$, например $a_1 > a_2$ (случай $a_1 > a_2$ рассматривается аналогично).
Ясно, что из выписанных в условии задачи равенств следует, что либо все рассматриваемые числа больше 1, либо все они меньше 1, либо, наконец, все эти числа равны 1. Но в последнем случае все числа $a_k$ (где $k = 1, 2, \cdots, 1973$) равны между собой, поэтому нам остается рассмотреть два других случая.
1°. Все числа $a_k$ больше 1. В таком случае
из $a_1^{a_2} = a_2^{a_3}$ и $a_1 > a_2$ следует, что $a_2 < a_3$;
из $a_2^{a_3} = a_3^{a_4}$ и $a_2 > a_3$ следует, что $a_3 < a_4$;
из $a_3^{a_4} = a_4^{a_5}$ и $a_3 > a_4$ следует, что $a_4 < a_5$
$\cdots$.
Таким образом, мы имеем:
$a_1 > a_2 < a_3 > a_3 > a_4 < a_5 \cdots > a_{1972} < a_{1973} > a_1 < a_2$.
Полученное противоречие $a_1 > a_2$ и $A_1 < a_2$ и доказывает, что в случае 1° обязательно $a_1 = a_2 = a_3 = \cdots = a_{1973}$.
2°. Все числа $а$ меньше 1. В этом случае
из $a_1^{a_2} = a_2^{a_3}$ и $a_1 > a_2$ следует, что $a_2 < a_3$;
из $a_2^{a_3} = a_3^{a_1}$ и $a_2 > a_3$ следует, что $a_3 < a_4$
$\cdots$.
Таким образом, здесь мы имеем:
$a_1 > a_2 > a_3 > a_4 > \cdots > a_{1973} > a_1$.
Полученное противоречие $a_1 > a_1$ показывает, что и в этом случае все $a_k$ обязательно равны между собой.
1973 положительных числа $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_{1973}$ таковы, что
$a_1^{a_2} = a_2^{a_3} = a_3^{a_4} = \cdots = (a_{1972})^{a_{1973}} = (a_{1973})^{a_1}$.
Доказать, что $a_1 = a_{1973}$.
Решение:
Мы утверждаем, что все наши 1973 числа одинаковы. В самом деле, пусть, это не так и, скажем, $a_1 = a_2 = a_3 = \cdots = a_i \neq a_{i+1}$. Для простоты перенумеруем наши числа циклически, присвоив номер 1 числу $a_i$, номер 2 - числу $a_{i+1}$, и т. д. - вплоть до числа $a_{i-n}$, которое теперь получит номер 1973. Итак, далее мы будем считать, что наши числа не все равны, причем $a_1 \neq a_2$, например $a_1 > a_2$ (случай $a_1 > a_2$ рассматривается аналогично).
Ясно, что из выписанных в условии задачи равенств следует, что либо все рассматриваемые числа больше 1, либо все они меньше 1, либо, наконец, все эти числа равны 1. Но в последнем случае все числа $a_k$ (где $k = 1, 2, \cdots, 1973$) равны между собой, поэтому нам остается рассмотреть два других случая.
1°. Все числа $a_k$ больше 1. В таком случае
из $a_1^{a_2} = a_2^{a_3}$ и $a_1 > a_2$ следует, что $a_2 < a_3$;
из $a_2^{a_3} = a_3^{a_4}$ и $a_2 > a_3$ следует, что $a_3 < a_4$;
из $a_3^{a_4} = a_4^{a_5}$ и $a_3 > a_4$ следует, что $a_4 < a_5$
$\cdots$.
Таким образом, мы имеем:
$a_1 > a_2 < a_3 > a_3 > a_4 < a_5 \cdots > a_{1972} < a_{1973} > a_1 < a_2$.
Полученное противоречие $a_1 > a_2$ и $A_1 < a_2$ и доказывает, что в случае 1° обязательно $a_1 = a_2 = a_3 = \cdots = a_{1973}$.
2°. Все числа $а$ меньше 1. В этом случае
из $a_1^{a_2} = a_2^{a_3}$ и $a_1 > a_2$ следует, что $a_2 < a_3$;
из $a_2^{a_3} = a_3^{a_1}$ и $a_2 > a_3$ следует, что $a_3 < a_4$
$\cdots$.
Таким образом, здесь мы имеем:
$a_1 > a_2 > a_3 > a_4 > \cdots > a_{1973} > a_1$.
Полученное противоречие $a_1 > a_1$ показывает, что и в этом случае все $a_k$ обязательно равны между собой.
