Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2975
2019-05-06 
Пусть $N \geq 2$ - некоторое натуральное число. Чему равна сумма всех дробей вида $\frac{1}{mn}$, где $m$ и $n$ - взаимно простые натуральные числа такие, что $1 \leq m < n \leq N$ и $m + n > N$?
Решение:
При $N = 2$ мы имеем лишь одну пару удовлетворяющих условию задачи чисел $m$ и $n$, а именно, $m = 1$, $n = 2$; здесь «сумма» $s_2$ рассматриваемых дробей $\frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}$. При $N = 3$ таких пар чисел будет уже две (пары $m = 1$, $n = 3$ и $m = 2$, $n = 3$); сумма $s_3$ рассматриваемых дробей здесь $s_3 = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2}$. Докажем теперь, что для любого натурального $N > 1$ интересующая нас сумма $s_N$ равна $\frac{1}{2}$.
Так как для $N = 2$ и $N = 3$ сформулированное утверждение верно, то мы можем воспользоваться методом математической индукции. Предположим, что некоторая сумма $s_{N-1} = \frac{1}{2}$; докажем, что тогда и $s_N = \frac{1}{2}$. Ясно, что суммы $s_{N-1}$ и $s_N$ связаны следующим образом: для получения из суммы $s_{N-1}$ и суммы $s_N$ надо, с одной стороны, исключить все слагаемые суммы $s_{N-1}$, имеющие вид $\frac{1}{mn}$, где $m+n = N$, т. е. имеющие вид $\frac{1}{i(N-i)}$ (здесь $1 \leq i < \frac{N}{2}$ и числа $i$ и $N-1$ взаимно просты). С другой стороны, к сумме $s_{N-1}$ надо прибавить всевозможные дроби вида $\frac{1}{jN}$, где $1 \leq j < N$ и числа $j$ и $N$ взаимно просты. Но так как для каждого $i$
$\frac{1}{i(N-i)} = \frac{1}{iN} + \frac{1}{(N-i)N}$
и числа $i$, $N - i$ взаимно просты тогда и только тогда, когда взаимно просты $i$ и $N – 1$, а значит и $N – 1$ и $N$, то сумма $s_N$ получается из суммы $s_{N-1}$ исключением ряда дробей вида $\frac{1}{i(N-i)}$ и добавлением вместо каждой такой дроби «компенсирующей» ее суммы дробей $\frac{1}{iN} + \frac{1}{(N-i)N}$; поэтому $s_N = s_{N-1} \left ( = \frac{1}{2} \right )$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.
Пусть $N \geq 2$ - некоторое натуральное число. Чему равна сумма всех дробей вида $\frac{1}{mn}$, где $m$ и $n$ - взаимно простые натуральные числа такие, что $1 \leq m < n \leq N$ и $m + n > N$?
Решение:
При $N = 2$ мы имеем лишь одну пару удовлетворяющих условию задачи чисел $m$ и $n$, а именно, $m = 1$, $n = 2$; здесь «сумма» $s_2$ рассматриваемых дробей $\frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}$. При $N = 3$ таких пар чисел будет уже две (пары $m = 1$, $n = 3$ и $m = 2$, $n = 3$); сумма $s_3$ рассматриваемых дробей здесь $s_3 = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2}$. Докажем теперь, что для любого натурального $N > 1$ интересующая нас сумма $s_N$ равна $\frac{1}{2}$.
Так как для $N = 2$ и $N = 3$ сформулированное утверждение верно, то мы можем воспользоваться методом математической индукции. Предположим, что некоторая сумма $s_{N-1} = \frac{1}{2}$; докажем, что тогда и $s_N = \frac{1}{2}$. Ясно, что суммы $s_{N-1}$ и $s_N$ связаны следующим образом: для получения из суммы $s_{N-1}$ и суммы $s_N$ надо, с одной стороны, исключить все слагаемые суммы $s_{N-1}$, имеющие вид $\frac{1}{mn}$, где $m+n = N$, т. е. имеющие вид $\frac{1}{i(N-i)}$ (здесь $1 \leq i < \frac{N}{2}$ и числа $i$ и $N-1$ взаимно просты). С другой стороны, к сумме $s_{N-1}$ надо прибавить всевозможные дроби вида $\frac{1}{jN}$, где $1 \leq j < N$ и числа $j$ и $N$ взаимно просты. Но так как для каждого $i$
$\frac{1}{i(N-i)} = \frac{1}{iN} + \frac{1}{(N-i)N}$
и числа $i$, $N - i$ взаимно просты тогда и только тогда, когда взаимно просты $i$ и $N – 1$, а значит и $N – 1$ и $N$, то сумма $s_N$ получается из суммы $s_{N-1}$ исключением ряда дробей вида $\frac{1}{i(N-i)}$ и добавлением вместо каждой такой дроби «компенсирующей» ее суммы дробей $\frac{1}{iN} + \frac{1}{(N-i)N}$; поэтому $s_N = s_{N-1} \left ( = \frac{1}{2} \right )$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.
