Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2973
2019-05-06 
Произведение трех положительных чисел равно 1; их сумма больше суммы обратных величин этих чисел. Доказать, что из трех рассматриваемых чисел одно больше единицы, а два остальных - меньше единицы.
Решение:
Пусть $а, b, с$ - данные числа; так как $abc = 1$, то $c = \frac{1}{ab}$. Второе условие задачи утверждает, что
$a+b+c > \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$, или $a+b+ \frac{1}{ab} > \frac{1}{a} + \frac{1}{b} +ab$; (*)
но неравенство (*) можно преобразовать так:
$ab - a - b + 1 < \frac{1}{ab} - \frac{1}{a} - \frac{1}{b} + 1$,
или
$(a-b)(b-1) < \left ( \frac{1}{a} - 1 \right ) \left ( \frac{1}{b} - 1 \right ) \left ( = \frac{1}{ab} (a-1)(b-1) \right )$,
Таким образом, неравенство (*) равносильно следующему:
$\frac{1}{ab} (a-1)(b-1) > (a-1)(b-1)$ или $(a-1)(b-1) \left ( \frac{1}{ab} - 1 \right )>0$.
Поэтому из трех чисел $а - 1$; $b - 1$ и $\frac{1}{ab} - 1 (=c - 1)$ имеется четное число отрицательных; другими словами, две из этих разностей отрицательны, а третья положительна, что нам и требовалось доказать. [Ясно, что все три разности положительными быть не могут, ибо если $а > 1$ и $b > 1$, то заведомо $c = \frac{1}{ab} < 1$ и, значит, разность $\frac{1}{ab} - 1 < 0$.]
Произведение трех положительных чисел равно 1; их сумма больше суммы обратных величин этих чисел. Доказать, что из трех рассматриваемых чисел одно больше единицы, а два остальных - меньше единицы.
Решение:
Пусть $а, b, с$ - данные числа; так как $abc = 1$, то $c = \frac{1}{ab}$. Второе условие задачи утверждает, что
$a+b+c > \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$, или $a+b+ \frac{1}{ab} > \frac{1}{a} + \frac{1}{b} +ab$; (*)
но неравенство (*) можно преобразовать так:
$ab - a - b + 1 < \frac{1}{ab} - \frac{1}{a} - \frac{1}{b} + 1$,
или
$(a-b)(b-1) < \left ( \frac{1}{a} - 1 \right ) \left ( \frac{1}{b} - 1 \right ) \left ( = \frac{1}{ab} (a-1)(b-1) \right )$,
Таким образом, неравенство (*) равносильно следующему:
$\frac{1}{ab} (a-1)(b-1) > (a-1)(b-1)$ или $(a-1)(b-1) \left ( \frac{1}{ab} - 1 \right )>0$.
Поэтому из трех чисел $а - 1$; $b - 1$ и $\frac{1}{ab} - 1 (=c - 1)$ имеется четное число отрицательных; другими словами, две из этих разностей отрицательны, а третья положительна, что нам и требовалось доказать. [Ясно, что все три разности положительными быть не могут, ибо если $а > 1$ и $b > 1$, то заведомо $c = \frac{1}{ab} < 1$ и, значит, разность $\frac{1}{ab} - 1 < 0$.]
