ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-05-06   
Доказать, что дробь

$\frac {2 - \sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + \cdots + \sqrt {2}}}}}{2 - \sqrt {2 + \sqrt {2 + \cdots + \sqrt {2}}}}$,

где в числителе стоят $n$ радикалов, а в знаменателе - $(n - 1)$ радикалов, при любом $n \geq 1$ будет больше $\frac{1}{4}$.


Решение:


Так как, очевидно,

$(2 - \underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + \cdots + \sqrt{2}}}}}_{n \: радикалов} \times \underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + \cdots + \sqrt{2}}}}}_{n \: радикалов} = 2^2 - (2 + \underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + \cdots + \sqrt{2}}}}_{n-1 \: радикалов} ) = 2 - \underbrace { \sqrt{2 + \sqrt {2 + \cdots + \sqrt{2}}}}_{n-1 \: радикалов} $,

то фигурирующая в условии задача дробь равна числу, обратному выражению

$R_n = 2 + \underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + \cdots + \sqrt {2}}}}_{n-1 \: радикалов}$;

таким образом, остается лишь показать, что $R_n < 4$. Докажем это методом математической индукции. Ясно, что $R_1 = 2 < 4$ и что
если $R_{n-1} < 4$, то и $R_n = 2 + \sqrt {R_{n-1}} < 2 + \sqrt 4 = 4$.