Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2971
2019-05-06 
Пусть $а, b, с, d$ - какие угодно четыре положительных числа. Доказать, что три неравенства
$a + b < с + d$,
$(a+b) (c+d) < ab + cd$,
$(a + b)cd < (с + d) ab$
не могут иметь место одновременно.
Решение:
Первое решение. Перепишем наши неравенства следующим образом:
$A = -a - b + c + d > 0$,
$B = ab - ac - ad - bc - bd + cd > 0$, (*)
$C = abc + abd - acd - bcd > 0$,
и рассмотрим уравнение
$P(x) = (x-a)(x-b)(x+c)(x+d) = x^4 + Ax^3 + Bx^2 + Cx + abcd = 0$.
Поскольку все коэффициенты этого уравнения в силу неравенств (*) и положительности чисел $a, b, с, d$ положительны, то оно не имеет положительных корней (при $x > 0$ и $P(x) = x^4 + Ax^3 + Bx^2 + Cx + abcd > 0$); но, с другой стороны, уравнение $P(x) = x^4 + Ax^3 + Bx^2 + Cx + abcd > 0$ имеет даже два положительных корня $x = а$ и $x = b$. Полученное противоречие и доказывает требуемое утверждение.
Второе решение. Из первых двух неравенств задачи следует, что
$(a+b)^2(c+d) < (c+d)(ab+cd)(c+d)ab$, или $(a+b)^2 < ab + cd$ (**)
(ведь $c+d > 0$); аналогично, из двух последних неравенств получаем:
$(a+b)^2(c+d)cd < (ab+cd)(c+d)ab$, или $(a+b)^2 cd < (ab + cd) ab$. (***)\
Но так как $(a+b)^2 - 4ab = (a-b)^2 \geq 0$ и, значит, $(a+b)^2 \geq 4ab$, то из неравенств (**) и (***) следует:
$4ab < ab + cd$, и $4abcd < (ab + cd) ab$
т. e. $cd > 3ab$ и $4cd < ab + cd$, или $ab > 3cd$,
- но невозможно, чтобы одновременно было $cd > 3ab$ и $cd < \frac{1}{3} ab$.
Пусть $а, b, с, d$ - какие угодно четыре положительных числа. Доказать, что три неравенства
$a + b < с + d$,
$(a+b) (c+d) < ab + cd$,
$(a + b)cd < (с + d) ab$
не могут иметь место одновременно.
Решение:
Первое решение. Перепишем наши неравенства следующим образом:
$A = -a - b + c + d > 0$,
$B = ab - ac - ad - bc - bd + cd > 0$, (*)
$C = abc + abd - acd - bcd > 0$,
и рассмотрим уравнение
$P(x) = (x-a)(x-b)(x+c)(x+d) = x^4 + Ax^3 + Bx^2 + Cx + abcd = 0$.
Поскольку все коэффициенты этого уравнения в силу неравенств (*) и положительности чисел $a, b, с, d$ положительны, то оно не имеет положительных корней (при $x > 0$ и $P(x) = x^4 + Ax^3 + Bx^2 + Cx + abcd > 0$); но, с другой стороны, уравнение $P(x) = x^4 + Ax^3 + Bx^2 + Cx + abcd > 0$ имеет даже два положительных корня $x = а$ и $x = b$. Полученное противоречие и доказывает требуемое утверждение.
Второе решение. Из первых двух неравенств задачи следует, что
$(a+b)^2(c+d) < (c+d)(ab+cd)(c+d)ab$, или $(a+b)^2 < ab + cd$ (**)
(ведь $c+d > 0$); аналогично, из двух последних неравенств получаем:
$(a+b)^2(c+d)cd < (ab+cd)(c+d)ab$, или $(a+b)^2 cd < (ab + cd) ab$. (***)\
Но так как $(a+b)^2 - 4ab = (a-b)^2 \geq 0$ и, значит, $(a+b)^2 \geq 4ab$, то из неравенств (**) и (***) следует:
$4ab < ab + cd$, и $4abcd < (ab + cd) ab$
т. e. $cd > 3ab$ и $4cd < ab + cd$, или $ab > 3cd$,
- но невозможно, чтобы одновременно было $cd > 3ab$ и $cd < \frac{1}{3} ab$.
