Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 297
2014-06-07 
Доказать, что если радиус окружности, вписанной в треугольник, вдвое меньше радиуса окружности, описанной около него, то этот треугольник является равносторонним.
Решение:
Пусть точки $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ являются соответственно серединами сторон ВС, АС, АВ данного треугольника АBС, для которого радиусы R и r описанной и вписанной окружностей соответственно удовлетворяют равенству R = 2r. Тогда радиус $\rho$ окружности, описанной вокруг треугольника $A_{1}B_{1}C_{1}$, подобного треугольнику ABC (с коэффициентом подобия 1/2), вдвое меньше радиуса R. Если эта окружность не касается некоторых сторон треугольника ABC, то проведем касательные, параллельные этим сторонам, к соответствующим дугам этой окружности, выходящим за пределы треугольника. Тогда окружность радиуса $\rho$ вписана в получившийся треугольник $A_{2}B_{2}C_{2}$, подобный треугольнику ABC и имеющий большую площадь. Следовательно, имеем $r < \rho = R/2$, что противоречит условию задачи. Таким образом, указанная окружность касается сторон АВ, ВС, АС, откуда по свойству касательных получаем $AB_{1} = AC_{1}, BC_{1} = BA_{1}$, поэтому АС = АВ = ВС, т.е. треугольник ABC равносторонний.
Доказать, что если радиус окружности, вписанной в треугольник, вдвое меньше радиуса окружности, описанной около него, то этот треугольник является равносторонним.
Решение:
Пусть точки $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ являются соответственно серединами сторон ВС, АС, АВ данного треугольника АBС, для которого радиусы R и r описанной и вписанной окружностей соответственно удовлетворяют равенству R = 2r. Тогда радиус $\rho$ окружности, описанной вокруг треугольника $A_{1}B_{1}C_{1}$, подобного треугольнику ABC (с коэффициентом подобия 1/2), вдвое меньше радиуса R. Если эта окружность не касается некоторых сторон треугольника ABC, то проведем касательные, параллельные этим сторонам, к соответствующим дугам этой окружности, выходящим за пределы треугольника. Тогда окружность радиуса $\rho$ вписана в получившийся треугольник $A_{2}B_{2}C_{2}$, подобный треугольнику ABC и имеющий большую площадь. Следовательно, имеем $r < \rho = R/2$, что противоречит условию задачи. Таким образом, указанная окружность касается сторон АВ, ВС, АС, откуда по свойству касательных получаем $AB_{1} = AC_{1}, BC_{1} = BA_{1}$, поэтому АС = АВ = ВС, т.е. треугольник ABC равносторонний.
