Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2969
2019-05-06 
а) Сколько корней имеет уравнение
$\sin x = \frac{x}{100}$?
б) Сколько корней имеет уравнение
$\sin x = lg x$?
Решение:
а) Заметим, прежде всего, что если $x_0$ является корнем уравнения, то - $x_0$ есть также корень. Следовательно, отрицательных корней столько же, сколько и положительных. Далее, число 0 есть корень уравнения. Таким образом, нам достаточно найти число положительных корней. Отметим теперь, что если $\frac{x}{100} = \sin x$, то
$|x| = 100 |\sin x| \leq 100 \cdot 1 = 100$.
Мы получаем, что корень уравнения по абсолютной величине больше 100 быть не может.
Разделим участок оси $Оx$ от $x = 0$ до $x = 100$ на отрезки длиной $2 \pi$ (последний отрезок может иметь меньшую длину) и подсчитаем число корней нашего уравнения на каждом из этих отрезков. Обратимся рис.
На первом отрезке (от 0 до $2 \pi$) имеется один положительный корень (и один корень нуль), на каждом следующем, исключая последний, - по два корня. Для того чтобы определить число корней на последнем отрезке, оценим его размеры $\frac{100}{2 \pi}$: заключается, очевидно, между 15 и 16 ($\frac{100}{15} = 6,66 \cdots > 2 \pi; \frac{100}{16} = 6,25 < 2 \pi$); следовательно, всего мы имеем 15 отрезков длиной по $2 \pi$; и одни неполный отрезок. Длина этого последнего отрезка равна $100 - 15 \cdot 2 \pi > 5 > \pi$; следовательно, на этом отрезке целиком помещается положительная полуволна синусоиды и, значит, на нем тоже имеются два корня.
Итак, всего мы имеем $1 + 14 \cdot 2 = 2 = 31$ положительный корень нашего уравнения. Столько же имеется отрицательных корней, и еще один корень равен нулю.
Окончательно общее число корней равно $31 \cdot 2 + 1 = 63$.
б) Решение этой задачи аналогично решению задачи а). Прежде всего очевидно, что если $\sin x = lg x$, то $x \leq 10$ (в противном случае левая часть нашего равенства не больше 1, а правая - больше). Так как $2 \cdot 2 \pi > 10$, то на участке оси $Оx$ от $x = 0$ до $x = 10$ помещаются одна полная волна $y = \sin x$ и часть следующей волны рис. График $y = \lg x$ очевидно, пересекает первую волну синусоиды в одной точке. Далее, так как $2 \pi + \pi/2 < 10$, то в точке $x = 5 \pi/2$ имеем $\sin x = 1 > lg x$ и, значит, график $y = lg x$ пересекает первую половину второй положительной полуволны: так как $lg x = 1 > \sin x$ в точке $x = 10$, то он должен пересечь и вторую половину этой полуволны. Таким образом, мы заключаем, что уравнение $\sin x = lg x$ имеет всего три корня.
Ответ: а) Число действительных корней уравнения равно числу точек пересечения прямой $у = \frac{1}{100} x$ и синусоиды $у = \sin x$. б) Число корней равно числу точек пересечения синусоиды $у = \sin x$ и логарифмической кривой $у = log x$.
а) Сколько корней имеет уравнение
$\sin x = \frac{x}{100}$?
б) Сколько корней имеет уравнение
$\sin x = lg x$?
Решение:
а) Заметим, прежде всего, что если $x_0$ является корнем уравнения, то - $x_0$ есть также корень. Следовательно, отрицательных корней столько же, сколько и положительных. Далее, число 0 есть корень уравнения. Таким образом, нам достаточно найти число положительных корней. Отметим теперь, что если $\frac{x}{100} = \sin x$, то
$|x| = 100 |\sin x| \leq 100 \cdot 1 = 100$.
Мы получаем, что корень уравнения по абсолютной величине больше 100 быть не может.
Разделим участок оси $Оx$ от $x = 0$ до $x = 100$ на отрезки длиной $2 \pi$ (последний отрезок может иметь меньшую длину) и подсчитаем число корней нашего уравнения на каждом из этих отрезков. Обратимся рис.
На первом отрезке (от 0 до $2 \pi$) имеется один положительный корень (и один корень нуль), на каждом следующем, исключая последний, - по два корня. Для того чтобы определить число корней на последнем отрезке, оценим его размеры $\frac{100}{2 \pi}$: заключается, очевидно, между 15 и 16 ($\frac{100}{15} = 6,66 \cdots > 2 \pi; \frac{100}{16} = 6,25 < 2 \pi$); следовательно, всего мы имеем 15 отрезков длиной по $2 \pi$; и одни неполный отрезок. Длина этого последнего отрезка равна $100 - 15 \cdot 2 \pi > 5 > \pi$; следовательно, на этом отрезке целиком помещается положительная полуволна синусоиды и, значит, на нем тоже имеются два корня.
Итак, всего мы имеем $1 + 14 \cdot 2 = 2 = 31$ положительный корень нашего уравнения. Столько же имеется отрицательных корней, и еще один корень равен нулю.
Окончательно общее число корней равно $31 \cdot 2 + 1 = 63$.
б) Решение этой задачи аналогично решению задачи а). Прежде всего очевидно, что если $\sin x = lg x$, то $x \leq 10$ (в противном случае левая часть нашего равенства не больше 1, а правая - больше). Так как $2 \cdot 2 \pi > 10$, то на участке оси $Оx$ от $x = 0$ до $x = 10$ помещаются одна полная волна $y = \sin x$ и часть следующей волны рис. График $y = \lg x$ очевидно, пересекает первую волну синусоиды в одной точке. Далее, так как $2 \pi + \pi/2 < 10$, то в точке $x = 5 \pi/2$ имеем $\sin x = 1 > lg x$ и, значит, график $y = lg x$ пересекает первую половину второй положительной полуволны: так как $lg x = 1 > \sin x$ в точке $x = 10$, то он должен пересечь и вторую половину этой полуволны. Таким образом, мы заключаем, что уравнение $\sin x = lg x$ имеет всего три корня.
Ответ: а) Число действительных корней уравнения равно числу точек пересечения прямой $у = \frac{1}{100} x$ и синусоиды $у = \sin x$. б) Число корней равно числу точек пересечения синусоиды $у = \sin x$ и логарифмической кривой $у = log x$.
