Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2968
2019-05-06 
Пусть все числа $a_1, a_2, \cdots, a_n$ (где $n \geq 2$) положительны; сколько вещественных решений имеет система уравнений:
$x_1x_2 = a_1, x_2x_3 = a_2, \cdots, x_{n-1}x_n = a_{n-1}, x_nx_1 = a_n$?
Решение:
Рассмотрим отдельно два случая.
1°. $n$ четно. Перемножив «нечетные» (т. е. 1-е, 3-е, ... , $(n-1)$) и «четные» уравнения нашей системы, получим:
$x_1x_2x_3 \cdots x_n = a_1a_3a_5 \cdots a_{n-1}$ и $x_1x_2x_3 \cdots x_n = a_2a_4a_6 \cdots a_n$,
откуда ясно, что при $a_1a_3a_5 \cdots a_{n-1} \neq a_2a_4a_6 \cdots a_n$ система вовсе не имеет решений. Если же $a_1a_3a_5 \cdots a_{n-1} = a_2a_4a_6 \cdots a_n$, то, приняв значение $x_1$ каким угодно (конечно, отличным от 0), мы затем из 1-го, 2-го, ..., $(n-1)$-го уравнений системы последовательно находим:
$x_2 = \frac{a_1}{x_1}, x_3 = \frac{a_2}{x_2}, \cdots, x_n = \frac {a_{n-1}}{x_{n-1}}$.
Подстановка всех этих значений в последнее уравнение показывает, что оно тоже удовлетворяется.
2°. $n$ нечетно. Разделив произведение «нечетных» (1-го, 3-го, ..., $n$-го) уравнений на произведение «четных» уравнений, получим:
$x_1^2 = \frac {a_1a_3a_5 \cdots a_n}{a_2a_4 \cdots a_{n-1}}$, откуда $x_1 = \pm \sqrt {\frac {a_1a_3a_5 \cdots a_n}{a_2a_4a_6 \cdots a_{n-1}}}$ (*)
(напомним, что все $a_i$ положительны). Далее из 1-го, 2-го, ..., $(n-1)$-го уравнений последовательно находим:
$x_2 = \frac{a_1}{x_1}, x_3 = \frac{a_2}{x_2}, \cdots, x_n = \frac {a_{n-1}}{x_{n-1}}$.
Проверка показывает, что при этом в силу (*) удовлетворяется также и последнее уравнение системы.
Ответ: 0, если $n$ четно и $a_1a_3 \cdots a_{n-1} \neq a_2a_4 \cdots a_n$; бесконечно много, если $n$ четно и $a_1a_3 \cdots a_{n-1} = a_2a_4 \cdots a_n$; 2, если $n$ нечетно.
Пусть все числа $a_1, a_2, \cdots, a_n$ (где $n \geq 2$) положительны; сколько вещественных решений имеет система уравнений:
$x_1x_2 = a_1, x_2x_3 = a_2, \cdots, x_{n-1}x_n = a_{n-1}, x_nx_1 = a_n$?
Решение:
Рассмотрим отдельно два случая.
1°. $n$ четно. Перемножив «нечетные» (т. е. 1-е, 3-е, ... , $(n-1)$) и «четные» уравнения нашей системы, получим:
$x_1x_2x_3 \cdots x_n = a_1a_3a_5 \cdots a_{n-1}$ и $x_1x_2x_3 \cdots x_n = a_2a_4a_6 \cdots a_n$,
откуда ясно, что при $a_1a_3a_5 \cdots a_{n-1} \neq a_2a_4a_6 \cdots a_n$ система вовсе не имеет решений. Если же $a_1a_3a_5 \cdots a_{n-1} = a_2a_4a_6 \cdots a_n$, то, приняв значение $x_1$ каким угодно (конечно, отличным от 0), мы затем из 1-го, 2-го, ..., $(n-1)$-го уравнений системы последовательно находим:
$x_2 = \frac{a_1}{x_1}, x_3 = \frac{a_2}{x_2}, \cdots, x_n = \frac {a_{n-1}}{x_{n-1}}$.
Подстановка всех этих значений в последнее уравнение показывает, что оно тоже удовлетворяется.
2°. $n$ нечетно. Разделив произведение «нечетных» (1-го, 3-го, ..., $n$-го) уравнений на произведение «четных» уравнений, получим:
$x_1^2 = \frac {a_1a_3a_5 \cdots a_n}{a_2a_4 \cdots a_{n-1}}$, откуда $x_1 = \pm \sqrt {\frac {a_1a_3a_5 \cdots a_n}{a_2a_4a_6 \cdots a_{n-1}}}$ (*)
(напомним, что все $a_i$ положительны). Далее из 1-го, 2-го, ..., $(n-1)$-го уравнений последовательно находим:
$x_2 = \frac{a_1}{x_1}, x_3 = \frac{a_2}{x_2}, \cdots, x_n = \frac {a_{n-1}}{x_{n-1}}$.
Проверка показывает, что при этом в силу (*) удовлетворяется также и последнее уравнение системы.
Ответ: 0, если $n$ четно и $a_1a_3 \cdots a_{n-1} \neq a_2a_4 \cdots a_n$; бесконечно много, если $n$ четно и $a_1a_3 \cdots a_{n-1} = a_2a_4 \cdots a_n$; 2, если $n$ нечетно.
