ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-05-06   
Дана система $n$ уравнений с $n$ неизвестными $x_1, x_2, \cdots, x_n$:

$ax_1^2 + bx_1 + c = x_2, ax_2^2 + bx_2 + c = x_2, \cdots, ax_{n-1}^2 + bx_{n-1} + c = x_n, ax_n^2 + bx_n + c = x_1$

(здесь $а \neq 0$). Доказать, что эта система не имеет ни одного решения, если $(b-1)^2 - 4ac < 0$, имеет единственное решение при $(b - 1)^2 - 4ac = 0$ и более одного решения при $(b - 1)^2 - 4ac > 0$.


Решение:


Обозначим $x_2 - x_1 = X_1$, $x_3 - x_2 = X_2, \cdots, x_n - x_{n-1} = X_{n-1}$, $x_1 - x_n = X_n$. Тогда $X_1 + X_2 + \cdots + X_{n-1} + X_n = 0$, а заданную систему уравнений можно переписать так:

$ax_1^2 + (b-1)x_1 + c = X_1, ax_2^2 + (b-1)x_2 + c = X_2, \cdots, ax_n^2 + (b-1)x_n + c = X_n$. (*)

Но ясно, что если дискриминант $\Delta = (b-1)^2 - 4ac$ стоящих в левой части (*) квадратных двучленов отрицателен, то все эти двучлены сохраняют знак (а именно, их знак совпадает со знаком $а$); поэтому все неизвестные $x_1, x_2, \cdots, x_n$ должны иметь тот же знак, что и коэффициент $а$ уравнений - и сумма их не может равняться нулю, т. е. наша система не имеет вещественных решений. Если $\Delta = 0$, то правые части уравнений (*) лишь при $x_1 = \frac{1-b}{2a}$ (соответственно при $x_2 = x_3 = \cdots = x_n = \frac{1-b}{2a}$ принимают значение 0 (а при других значениях $x_1, x_2, \cdots, x_n$ они имеют тот же знак, что и число $а$); поэтому равенство $X_1 + X_2 + \cdots + X_n = 0$ возможно лишь при $X_1 = X_2 = \cdots = X_n = 0$ и $x_1 = x_2 = \cdots = x_n = \frac{1-b}{2a}$. Наконец при $\Delta > 0$ наша система имеет, по крайней мере, два разных решения

$x_1 = x_2 = \cdots = x_n = x_1^{*}$ и $x_1 = x_2 = \cdots = x_n = x_2^{*}$,

где $x_{1,2}^{*} = \frac {1-b \pm \sqrt {(1-b) - 4ac}}{2a}$.