ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-05-06   
Решить систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными

$|a-b| y + |a-c|z + |a-d| t = 1$,
$|b-a| x + |b-c|z + |b-d| t = 1$,
$|c-a| x + |c-b|y + |c-d| t = 1$,
$|d-a| x + |d-b|y + |d-c| z = 1$;

здесь $a, b, c, d$ - какие-то четыре попарно различных вещественных числа.


Решение:


Для того чтобы подчеркнуть полную симметрию уравнений нашей системы относительно входящих в систему неизвестных и коэффициентов при этих неизвестных, обозначим $x = x_1$, $y = x_2$, $z = x_3$ и $t = x_4$; $a = a_1$, $b = a_2$, $c = a_3$, $d = a_4$; при этом наши уравнения можно будет записать так:

$\sum_{j=1}^{4} {|a_i - a_j|x_j} = 1 (i = 1,2,3,4)$. (*)

Далее, пусть, например, $a_1 > a_2 > a_3 > a_4$; тогда имеем

$(a_1 - a_2)x_2 + (a_1 - a_3)x_3 + (a_1 - a_4)x_4 = 1$,
$(a_1 - a_2)x_1 + (a_2 - a_3)x_3 + (a_2 - a_4)x_4 = 1$, (**)
$(a_1 - a_3)x_1 + (a_2 - a_3)x_2 + (a_3 - a_4)x_4 = 1$,
$(a_1 - a_4)x_1 + (a_2 - a_4)x_2 + (a_4 - a_3)x_3 = 1$.

Вычтем из первого уравнения системы (**) второе, из второго - третье и из третьего - четвертое; мы получим:

$(a_1 - a_2)(-x_1 + x_2 + x_3 + x_4) = 0$,
$(a_2 - a_3)(-x_1 - x_2 + x_3 + x_4) = 0$,
$(a_3 - a_4)(-x_1 - x_2 - x_3 + x_4) = 0$.

Так как числа $a_1, a_2, a_3, a_4$ попарно различны, то

$x_1 = x_2 + x_3 + x_4$, $x_1 + x_2 = x_3 + x_4$, $x_1 + x_2 + x_3 = x_4$,

откуда следует, что

$x_2 = x_3 = 0$, $x_1 = x_4$,

а когда (например, из последнего из уравнений (**)) находим:

$x_1 = \frac{1}{a_1 - a_4}$.

Проверка показывает, что значения $x_2 = x_3 = 0$, $x_1 = x_4 = \frac{1}{a_1 - a_4}$ действительно удовлетворяют всем уравнениям системы.
Ответ: если $a > b > c > d$, то $x = t = \frac{1}{a-d}$, $y = z = 0$.