Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2965
2019-05-06 
Найти всевозможные системы таких четырех вещественных чисел, что сумма каждого из них с произведением остальных равна 2.
Решение:
Пусть $x, у, z, t$ - искомые числа и $xyzt = А$; заметим, что $A \neq 0$, поскольку если, например, $х = 0$, то условия задачи приводят к противоречивым равенствам $y = z = t = 2$ и $yzt = 2$. Далее, уравнение $x + yzt = 2$ можно переписать так:
$x + \frac{A}{x} = 2$, или $x^2 - 2x + A = 0$.
Аналогично получаем
$y^2 - 2y + A = 0$, $z^2 - 2z + A = 0$, $t^2 - 2t + A = 0$.
Но уравнение $x^2 - 2x + A = 0$ может иметь (при данном $А$) лишь два разных корня; поэтому среди чисел $x, у, z, t$ имеется не более двух различных. Далее мы рассмотрим отдельно несколько возможных случаев.
1°. Если $x = у = z = t$, то наши уравнения дают
$x + x^3 = 2$, или $x^3 + x - 2 = 0$, или, наконец, $(x-1)(x^2 + x + 2) = 0$, откуда $x_1 = 1$, $x_{2,3} = \frac {-1 \pm \sqrt {-7}}{2}$, Таким образом, здесь мы имеем единственное решение системы в вещественных числах: $x=y=z=t=1$.
2°. Если $x = у = z$, a $t$ может быть и иным, то условия задачи дают
$x + x^2t = 2$ и $t + x^3 = 2$. (*)
Вычитая равенства (*) одно из другого, получаем:
$x^3 - x^2t - x + t = 0$, или $(x-t)(x^2-1) = 0$;
поэтому либо $x = t$ (этот случай мы уже разобрали выше), либо $x = \pm 1$. Но при $x = 1$ первое из уравнений (*) сразу дает $t = 1$ - и мы снова приходим к полученному выше решению; если же $x = - 1$, то то же уравнение дает $t = 3$.
3°. Если $x = у$ и $z = t$, то система сводится к следующей:
$x + xz^2 = 2$, $z + x^2z = 2$. (**)
Вычитая почленно эти уравнения, получаем:
$x - z + xz^2 - x^2z = 0$, или $(x-z)(1 - xz) = 0$.
Но равенство $x = z$ сразу приводит нас к случаю 1°, а если $xz = 1$ и (в силу первого из уравнений (**)) $x+z = 2$, то мы снова находим уже известное решение $x=z=1$.
Ответ: либо все 4 числа равны 1, либо три из них равны - 1 и одно равно 3.
Найти всевозможные системы таких четырех вещественных чисел, что сумма каждого из них с произведением остальных равна 2.
Решение:
Пусть $x, у, z, t$ - искомые числа и $xyzt = А$; заметим, что $A \neq 0$, поскольку если, например, $х = 0$, то условия задачи приводят к противоречивым равенствам $y = z = t = 2$ и $yzt = 2$. Далее, уравнение $x + yzt = 2$ можно переписать так:
$x + \frac{A}{x} = 2$, или $x^2 - 2x + A = 0$.
Аналогично получаем
$y^2 - 2y + A = 0$, $z^2 - 2z + A = 0$, $t^2 - 2t + A = 0$.
Но уравнение $x^2 - 2x + A = 0$ может иметь (при данном $А$) лишь два разных корня; поэтому среди чисел $x, у, z, t$ имеется не более двух различных. Далее мы рассмотрим отдельно несколько возможных случаев.
1°. Если $x = у = z = t$, то наши уравнения дают
$x + x^3 = 2$, или $x^3 + x - 2 = 0$, или, наконец, $(x-1)(x^2 + x + 2) = 0$, откуда $x_1 = 1$, $x_{2,3} = \frac {-1 \pm \sqrt {-7}}{2}$, Таким образом, здесь мы имеем единственное решение системы в вещественных числах: $x=y=z=t=1$.
2°. Если $x = у = z$, a $t$ может быть и иным, то условия задачи дают
$x + x^2t = 2$ и $t + x^3 = 2$. (*)
Вычитая равенства (*) одно из другого, получаем:
$x^3 - x^2t - x + t = 0$, или $(x-t)(x^2-1) = 0$;
поэтому либо $x = t$ (этот случай мы уже разобрали выше), либо $x = \pm 1$. Но при $x = 1$ первое из уравнений (*) сразу дает $t = 1$ - и мы снова приходим к полученному выше решению; если же $x = - 1$, то то же уравнение дает $t = 3$.
3°. Если $x = у$ и $z = t$, то система сводится к следующей:
$x + xz^2 = 2$, $z + x^2z = 2$. (**)
Вычитая почленно эти уравнения, получаем:
$x - z + xz^2 - x^2z = 0$, или $(x-z)(1 - xz) = 0$.
Но равенство $x = z$ сразу приводит нас к случаю 1°, а если $xz = 1$ и (в силу первого из уравнений (**)) $x+z = 2$, то мы снова находим уже известное решение $x=z=1$.
Ответ: либо все 4 числа равны 1, либо три из них равны - 1 и одно равно 3.
