Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2964
2019-05-06 
Найти всевозможные решения $x, x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ системы уравнений:
$x_1 + x_3 = xx_2, x_2 + x_4 = xx_3, x_3 + x_5 = xx_4, x_4 + x_1 = xx_5, x_5 + x_2 = xx_1$.
Решение:
Одно решение (точнее система решений) очевидно: $x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = x_5 = 0$, $x$ - произвольно; поэтому далее мы будем считать, что хоть одно из $x_i$ ($i = 1, 2, 3, 4, 5$) отлично от нуля. Далее, из первого и последнего уравнений системы имеем
$x_3 = xx_2 - x_1$ и $x_5 = xx_1 - x_2$; (*)
аналогично, второе и предпоследнее ее уравнения дают
$x_4 = xx_3 - x_2$ и $x_4 = xx_5 - x_1$ (**)
Подставив в (**) $x_3$ и $x_5$ из (*), находим
$x_4 = (x^2 - 1)x_2 - xx_1$ и $x_4 = (x^2 - 1)x_1 - xx_2$. (***)
Приравняем теперь правые части (***):
$(x^2 - 1) x_2 - xx_1 = (x^2 - 1)x_1 - xx_2$,
или
$(x^2 + x - 1)x_1 = (x^2 + x - 1)x_2$.
Далее естественно различать два случая. Если $x^2 + x - 1 \neq 0$, то, очевидно, $x_1 = x_2$. Но все неизвестные $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ входят в наши уравнения симметрично (одинаково); поэтому точно так же можно установить, что в этом случае $x_2 = x_3, x_3 = x_4, x_4 = x_5$. Таким образом, здесь мы имеем $x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = x_5$; подставив эти значения в исходные уравнения, находим, что $x = 2$. Наконец, если $x^2 + x - 1 = 0$ т. е. ($x^2 - 1 = -x$ и $x = \frac {-1 \pm \sqrt 5}{2}$), то (***) - это одно уравнение
$x_4 = - x (x_2 + x_1)$ (****)
Непосредственной подстановкой легко убедиться, что в этом случае значения $x_3 = xx_2 - x_1$, $x_4 = -x(x_1 + x_2)$ и $x_5 = xx_1 - x_2$ удовлетворяют нашей системе при произвольных $x_1$ и $x_2$.
Ответ: $x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = x_5 = 0$, $x$ произвольно; $x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = x_5$ произвольны, $x = 2$; $x_1$ и $x_2$ произвольны, $x_3 = xx_2 - x_1$, $x_4 = -x(x_1 + x_2)$, $x_5 = xx_1 - x_2$, $x = \frac {-1 \pm \sqrt 5}{2}$.
Найти всевозможные решения $x, x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ системы уравнений:
$x_1 + x_3 = xx_2, x_2 + x_4 = xx_3, x_3 + x_5 = xx_4, x_4 + x_1 = xx_5, x_5 + x_2 = xx_1$.
Решение:
Одно решение (точнее система решений) очевидно: $x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = x_5 = 0$, $x$ - произвольно; поэтому далее мы будем считать, что хоть одно из $x_i$ ($i = 1, 2, 3, 4, 5$) отлично от нуля. Далее, из первого и последнего уравнений системы имеем
$x_3 = xx_2 - x_1$ и $x_5 = xx_1 - x_2$; (*)
аналогично, второе и предпоследнее ее уравнения дают
$x_4 = xx_3 - x_2$ и $x_4 = xx_5 - x_1$ (**)
Подставив в (**) $x_3$ и $x_5$ из (*), находим
$x_4 = (x^2 - 1)x_2 - xx_1$ и $x_4 = (x^2 - 1)x_1 - xx_2$. (***)
Приравняем теперь правые части (***):
$(x^2 - 1) x_2 - xx_1 = (x^2 - 1)x_1 - xx_2$,
или
$(x^2 + x - 1)x_1 = (x^2 + x - 1)x_2$.
Далее естественно различать два случая. Если $x^2 + x - 1 \neq 0$, то, очевидно, $x_1 = x_2$. Но все неизвестные $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ входят в наши уравнения симметрично (одинаково); поэтому точно так же можно установить, что в этом случае $x_2 = x_3, x_3 = x_4, x_4 = x_5$. Таким образом, здесь мы имеем $x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = x_5$; подставив эти значения в исходные уравнения, находим, что $x = 2$. Наконец, если $x^2 + x - 1 = 0$ т. е. ($x^2 - 1 = -x$ и $x = \frac {-1 \pm \sqrt 5}{2}$), то (***) - это одно уравнение
$x_4 = - x (x_2 + x_1)$ (****)
Непосредственной подстановкой легко убедиться, что в этом случае значения $x_3 = xx_2 - x_1$, $x_4 = -x(x_1 + x_2)$ и $x_5 = xx_1 - x_2$ удовлетворяют нашей системе при произвольных $x_1$ и $x_2$.
Ответ: $x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = x_5 = 0$, $x$ произвольно; $x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = x_5$ произвольны, $x = 2$; $x_1$ и $x_2$ произвольны, $x_3 = xx_2 - x_1$, $x_4 = -x(x_1 + x_2)$, $x_5 = xx_1 - x_2$, $x = \frac {-1 \pm \sqrt 5}{2}$.
