Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2963
2019-05-06 
Найти все вещественные решения системы
$\begin{cases} x^3 + y^3 = 1 \\ x^4 + y^4 = 1 \end{cases}$.
Решение:
Если $x^4 + y^4 = 1$, то либо $х^4 = 1$, $у^4 = 0$, либо $х^4 = 0$, $у^4 = 1$, либо, наконец, $0 < х^4$, $у^4 < 1$ (ибо числа $х^4$ и $у^4$ неотрицательны). Но при $х^4 < 1$, $у^4 < 1$ мы имеем также $|x| < 1$ и $|y| < 1$, а в таком случае
$x^4 = |x^4| = |x^3| \cdot |x| < |x^3|, y^4 < |y^3|$ и $|x^3| + |y^3| > x^4 + y^4 = 1$,
откуда следует, что два числа $х, у$ одного знака, такие, что $|x| < 1$, $|y| < 1$ не могут служить решением нашей системы. Еще яснее, что и два числа $х, у$ разных знаков, где $|x| < 1$, $|y| < 1$, тоже не могут служить решением, ибо в этом случае
$x^3 + y^3 \leq |x^3 + y^3| < max (|x^3|, |y^3|) < 1$.
Таким образом, решения системы приходится искать среди таких значений $х, у$, что $х^4 = 1$, $y^4 = 0$, или наоборот, т. е. среди пар $x = \pm 1$, $y = 0$ и $x = 0$, $y = \pm 1$; ясно, что из этих четырех пар чисел решениями являются только две: $x = 1$, $у = 0$ и $х = 0$, $у = 1$.
Ответ: $х = 1, у = 0$ и $x = 0, у = 1$.
Найти все вещественные решения системы
$\begin{cases} x^3 + y^3 = 1 \\ x^4 + y^4 = 1 \end{cases}$.
Решение:
Если $x^4 + y^4 = 1$, то либо $х^4 = 1$, $у^4 = 0$, либо $х^4 = 0$, $у^4 = 1$, либо, наконец, $0 < х^4$, $у^4 < 1$ (ибо числа $х^4$ и $у^4$ неотрицательны). Но при $х^4 < 1$, $у^4 < 1$ мы имеем также $|x| < 1$ и $|y| < 1$, а в таком случае
$x^4 = |x^4| = |x^3| \cdot |x| < |x^3|, y^4 < |y^3|$ и $|x^3| + |y^3| > x^4 + y^4 = 1$,
откуда следует, что два числа $х, у$ одного знака, такие, что $|x| < 1$, $|y| < 1$ не могут служить решением нашей системы. Еще яснее, что и два числа $х, у$ разных знаков, где $|x| < 1$, $|y| < 1$, тоже не могут служить решением, ибо в этом случае
$x^3 + y^3 \leq |x^3 + y^3| < max (|x^3|, |y^3|) < 1$.
Таким образом, решения системы приходится искать среди таких значений $х, у$, что $х^4 = 1$, $y^4 = 0$, или наоборот, т. е. среди пар $x = \pm 1$, $y = 0$ и $x = 0$, $y = \pm 1$; ясно, что из этих четырех пар чисел решениями являются только две: $x = 1$, $у = 0$ и $х = 0$, $у = 1$.
Ответ: $х = 1, у = 0$ и $x = 0, у = 1$.
