Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2961
2019-05-06 
Найти условия, которым должны удовлетворять данные числа $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ для того, чтобы система 6 уравнений с 4 неизвестными
$\begin{cases} x_1 + x_2 = \alpha_1 \alpha_2 \\ x_1 + x_3 = \alpha_1 \alpha_3 \\ x_1 + x_4 = \alpha_1 \alpha_4 \\ x_2 + x_3 = \alpha_2 \alpha_3 \\ x_2 + x_4 = \alpha_2 \alpha_4 \\ x_3 + x_4 = \alpha_3\alpha_4\end{cases}$
имела решения. Найти значения неизвестных $x_1, x_2, x_3, x_4$.
Решение:
Вычитая второе уравнение из первого и шестое из пятого и приравнивая два полученных выражения для $x_2 - x_3$, получим:
$\alpha_1 (\alpha_2 - \alpha_3) = \alpha_4 (\alpha_2 - \alpha_3)$, или $(\alpha_1 - \alpha_4) (\alpha_2 - \alpha_3) = 0$.
Точно так же, составляя по два различных выражения для разностей $x_1 - x_2$ и $x_1 - x_3$, получим еще два соотношения:
$(\alpha_1 - \alpha_2)(\alpha_3 - \alpha_4) = 0$, $(\alpha_1 - \alpha_3)(\alpha_2 - \alpha_4) = 0$.
Из первого из полученных трех соотношений следует, что $\alpha_1 = \alpha_4$ или $\alpha_2 = \alpha_3$. Предположим для определенности, что $\alpha_2 = \alpha_3 = \alpha$. Из второго соотношения следует, что $\alpha_1 = \alpha$ или $a\alpha_4 = \alpha$. Каждое из этих равенств обращает третье соотношение в тождество. Таким образом, для того чтобы наша система была совместной, необходимо, чтобы три из четырех величин $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ были равны между собой.
Предположим теперь, что $\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = \alpha$, $\alpha_4 = \beta$. Вспоминая те выражения для разностей $x_1 - x_2$, $x_1 - x_3$, $x_2 - x_3$, при помощи которых мы получили соотношения между $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$, немедленно получаем:
$x_1 = x_2 = x_3$.
Обозначим теперь $x_1 = x_2 = x_3$ просто через $х$, а $x_4$ - через $у$. В таком случае наши шесть уравнений с четырьмя неизвестными перейдут в два уравнения с двумя неизвестными:
$2x = \alpha^2$, $x+y = \alpha \beta$,
откуда
$x = \frac{ \alpha^2}{2}$; $y = \alpha \left ( \beta - \frac{\alpha}{2} \right )$.
Найти условия, которым должны удовлетворять данные числа $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ для того, чтобы система 6 уравнений с 4 неизвестными
$\begin{cases} x_1 + x_2 = \alpha_1 \alpha_2 \\ x_1 + x_3 = \alpha_1 \alpha_3 \\ x_1 + x_4 = \alpha_1 \alpha_4 \\ x_2 + x_3 = \alpha_2 \alpha_3 \\ x_2 + x_4 = \alpha_2 \alpha_4 \\ x_3 + x_4 = \alpha_3\alpha_4\end{cases}$
имела решения. Найти значения неизвестных $x_1, x_2, x_3, x_4$.
Решение:
Вычитая второе уравнение из первого и шестое из пятого и приравнивая два полученных выражения для $x_2 - x_3$, получим:
$\alpha_1 (\alpha_2 - \alpha_3) = \alpha_4 (\alpha_2 - \alpha_3)$, или $(\alpha_1 - \alpha_4) (\alpha_2 - \alpha_3) = 0$.
Точно так же, составляя по два различных выражения для разностей $x_1 - x_2$ и $x_1 - x_3$, получим еще два соотношения:
$(\alpha_1 - \alpha_2)(\alpha_3 - \alpha_4) = 0$, $(\alpha_1 - \alpha_3)(\alpha_2 - \alpha_4) = 0$.
Из первого из полученных трех соотношений следует, что $\alpha_1 = \alpha_4$ или $\alpha_2 = \alpha_3$. Предположим для определенности, что $\alpha_2 = \alpha_3 = \alpha$. Из второго соотношения следует, что $\alpha_1 = \alpha$ или $a\alpha_4 = \alpha$. Каждое из этих равенств обращает третье соотношение в тождество. Таким образом, для того чтобы наша система была совместной, необходимо, чтобы три из четырех величин $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ были равны между собой.
Предположим теперь, что $\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = \alpha$, $\alpha_4 = \beta$. Вспоминая те выражения для разностей $x_1 - x_2$, $x_1 - x_3$, $x_2 - x_3$, при помощи которых мы получили соотношения между $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$, немедленно получаем:
$x_1 = x_2 = x_3$.
Обозначим теперь $x_1 = x_2 = x_3$ просто через $х$, а $x_4$ - через $у$. В таком случае наши шесть уравнений с четырьмя неизвестными перейдут в два уравнения с двумя неизвестными:
$2x = \alpha^2$, $x+y = \alpha \beta$,
откуда
$x = \frac{ \alpha^2}{2}$; $y = \alpha \left ( \beta - \frac{\alpha}{2} \right )$.
