Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2960
2019-05-06 
а) Решить систему уравнений
$\begin{cases} ax + y = a^2 \\ x + ay = 1 \end{cases}$
При каких значениях $a$ эта система вовсе не имеет решений и при каких имеет бесконечно много решений?
б) Тот же вопрос относительно системы
$\begin{cases} ax + y = a^3 \\ x + ay = 1 \end{cases}$
в) Тот же вопрос относительно системы
$\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = a \\ x + y + az = a^2 \end{cases}$.
Решение:
а) Решая систему, получаем:
$x = \frac {a^3 - 1}{a^2 - 1}$, $y = \frac {-a^2 + a}{a^2 - 1}$.
Отсюда видно, что если $a+1 \neq 0$ и $a-1 \neq 0$, то система имеет единственное решение $x = \frac {a^2+a+1}{a+1}$, $y = - \frac{a}{a^2-1}$. Если $а = - 1$ или $а = + 1$, то наши формулы теряют смысл; в первом случае мы приходим к системе
$\begin{cases} - x + y = 1 \\ x - y = 1 \end{cases}$,
которая противоречива (не имеет решений), во втором случае - к системе
$\begin{cases} x + y = 1 \\ x + y = 1 \end{cases}$,
которая имеет бесконечно много решений ($x$ произвольно, $y = 1 - x$).
б) Решая систему, получаем:
$x = \frac {a^4 - 1}{a^2 - 1}$, $y = \frac {-a^3 + a}{a^2 - 1}$
Таким образом, и здесь, если $a^2 - 1 \neq 0$, то система имеет единственное решение $x = a^2 + 1$, $y = - a$. В. случаях же $а = - 1$ и $а = 1$ мы приходим к системам
$\begin{cases} -x + y = -1 \\ x – y = 1 \end{cases}$, и $\begin{cases} x + y = 1 \\ x + y = 1 \end{cases}$,
которые имеют бесконечно много решений.
в) Из первого и второго уравнений получаем:
$y+z = 1 - ax$ и $ay + z = a - x$;
рассматривая эти два равенства как систему двух уравнений с двумя неизвестными $y$ и $z$, имеем:
$y = \frac {a-x-1+ax}{a-1} = \frac {(a-1)(1+x)}{a-1}$,
$z = \frac {a(1-ax) - a + x}{a-1} = \frac {-x (a^2 - 1)}{a-1}$.
Таким образом, если $a \neq 1$, то $y = 1 + x$, $z = - (1+a)x$; подставляя эти значения $у$ и $z$ в третье уравнение, находим:
$x + (1+x) - a(1+a)x = a^2$, $x(2 - a - a^2) = a^2 - 1$, $-x(a+2)(a-1) = a^2 - 1$.
Поэтому при $a = 1 \neq 0$, $a + 2 \neq 0$ система имеет единственное решение
$x = - \frac {a^2 - 1}{(a+2)(a-1)} = - \frac {a+1}{a+2}$, $y = 1 + x = \frac{1}{a+2}$, $z = -(a+1)x = \frac {(a+1)^2}{a+2}$.
В случаях $а = 1$ и $а = - 2$ мы приходим соответственно к системам
$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + y + z = 1 \\ x + y + z = 1 \end{cases}$, и $\begin{cases} -2x + y + z = 1 \\ x - 2y + z = -2 \\ x + y - 2z = 4 \end{cases}$,
первая из которых имеет бесконечно много решений, а вторая не имеет ни одного решения (складывая первые два уравнения второй системы, мы получаем $-x - y + 2z = -1$, что противоречит третьему уравнению).
Ответ: а) При $а = -1$ система не имеет решений, при $а - \pm 1$ система имеет бесконечно много решений, б) При $а = \pm 1$ система имеет бесконечно много решений, в) При $а = 1$ система имеет бесконечно много решений, при $а = - 2$ - не имеет ни одного решения.
а) Решить систему уравнений
$\begin{cases} ax + y = a^2 \\ x + ay = 1 \end{cases}$
При каких значениях $a$ эта система вовсе не имеет решений и при каких имеет бесконечно много решений?
б) Тот же вопрос относительно системы
$\begin{cases} ax + y = a^3 \\ x + ay = 1 \end{cases}$
в) Тот же вопрос относительно системы
$\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = a \\ x + y + az = a^2 \end{cases}$.
Решение:
а) Решая систему, получаем:
$x = \frac {a^3 - 1}{a^2 - 1}$, $y = \frac {-a^2 + a}{a^2 - 1}$.
Отсюда видно, что если $a+1 \neq 0$ и $a-1 \neq 0$, то система имеет единственное решение $x = \frac {a^2+a+1}{a+1}$, $y = - \frac{a}{a^2-1}$. Если $а = - 1$ или $а = + 1$, то наши формулы теряют смысл; в первом случае мы приходим к системе
$\begin{cases} - x + y = 1 \\ x - y = 1 \end{cases}$,
которая противоречива (не имеет решений), во втором случае - к системе
$\begin{cases} x + y = 1 \\ x + y = 1 \end{cases}$,
которая имеет бесконечно много решений ($x$ произвольно, $y = 1 - x$).
б) Решая систему, получаем:
$x = \frac {a^4 - 1}{a^2 - 1}$, $y = \frac {-a^3 + a}{a^2 - 1}$
Таким образом, и здесь, если $a^2 - 1 \neq 0$, то система имеет единственное решение $x = a^2 + 1$, $y = - a$. В. случаях же $а = - 1$ и $а = 1$ мы приходим к системам
$\begin{cases} -x + y = -1 \\ x – y = 1 \end{cases}$, и $\begin{cases} x + y = 1 \\ x + y = 1 \end{cases}$,
которые имеют бесконечно много решений.
в) Из первого и второго уравнений получаем:
$y+z = 1 - ax$ и $ay + z = a - x$;
рассматривая эти два равенства как систему двух уравнений с двумя неизвестными $y$ и $z$, имеем:
$y = \frac {a-x-1+ax}{a-1} = \frac {(a-1)(1+x)}{a-1}$,
$z = \frac {a(1-ax) - a + x}{a-1} = \frac {-x (a^2 - 1)}{a-1}$.
Таким образом, если $a \neq 1$, то $y = 1 + x$, $z = - (1+a)x$; подставляя эти значения $у$ и $z$ в третье уравнение, находим:
$x + (1+x) - a(1+a)x = a^2$, $x(2 - a - a^2) = a^2 - 1$, $-x(a+2)(a-1) = a^2 - 1$.
Поэтому при $a = 1 \neq 0$, $a + 2 \neq 0$ система имеет единственное решение
$x = - \frac {a^2 - 1}{(a+2)(a-1)} = - \frac {a+1}{a+2}$, $y = 1 + x = \frac{1}{a+2}$, $z = -(a+1)x = \frac {(a+1)^2}{a+2}$.
В случаях $а = 1$ и $а = - 2$ мы приходим соответственно к системам
$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + y + z = 1 \\ x + y + z = 1 \end{cases}$, и $\begin{cases} -2x + y + z = 1 \\ x - 2y + z = -2 \\ x + y - 2z = 4 \end{cases}$,
первая из которых имеет бесконечно много решений, а вторая не имеет ни одного решения (складывая первые два уравнения второй системы, мы получаем $-x - y + 2z = -1$, что противоречит третьему уравнению).
Ответ: а) При $а = -1$ система не имеет решений, при $а - \pm 1$ система имеет бесконечно много решений, б) При $а = \pm 1$ система имеет бесконечно много решений, в) При $а = 1$ система имеет бесконечно много решений, при $а = - 2$ - не имеет ни одного решения.
