Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 296
2014-06-07 
Найти квадрат наименьших размеров, в котором можно расположить 5 кругов радиуса 1 каждый так, чтобы никакие два из них не имели общих внутренних точек.
Решение:
Пусть ABCD – квадрат с центром О и стороной а, содержащий 5 непересекающихся кругов радиуса 1. Тогда центры кругов лежат во внутреннем квадрате $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ с центром О и стороной a - 2(где $A_{1}B_{1} \parallel AB$; рис.). Прямые, соединяющие середины противоположных сторон квадрата $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, разбивают его на четыре маленьких квадрата, в одном из которых (по принципу Дирихле) расположено по крайней мере два из центров кругов. Тогда расстояние между ними, с одной стороны, не превосходит диагонали маленького квадрата, а с другой стороны, не меньше 2. Поэтому имеем
$2 \leq OA_{1} = \frac{A_{1}B_{1}}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{a - 2}{2} \sqrt{2}$,
откуда
$a \geq 2 \sqrt{2} + 2$.
Наконец, если $a = 2 \sqrt{2} + 2$ и центры кругов лежат в точках $O, A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$, то все требуемые условия выполнены. Таким образом, искомый квадрат имеет сторону $2 \sqrt{2} + 2$.
Найти квадрат наименьших размеров, в котором можно расположить 5 кругов радиуса 1 каждый так, чтобы никакие два из них не имели общих внутренних точек.
Решение:
Пусть ABCD – квадрат с центром О и стороной а, содержащий 5 непересекающихся кругов радиуса 1. Тогда центры кругов лежат во внутреннем квадрате $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ с центром О и стороной a - 2(где $A_{1}B_{1} \parallel AB$; рис.). Прямые, соединяющие середины противоположных сторон квадрата $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, разбивают его на четыре маленьких квадрата, в одном из которых (по принципу Дирихле) расположено по крайней мере два из центров кругов. Тогда расстояние между ними, с одной стороны, не превосходит диагонали маленького квадрата, а с другой стороны, не меньше 2. Поэтому имеем
$2 \leq OA_{1} = \frac{A_{1}B_{1}}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{a - 2}{2} \sqrt{2}$,
откуда
$a \geq 2 \sqrt{2} + 2$.
Наконец, если $a = 2 \sqrt{2} + 2$ и центры кругов лежат в точках $O, A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$, то все требуемые условия выполнены. Таким образом, искомый квадрат имеет сторону $2 \sqrt{2} + 2$.
