Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2959
2019-05-06 
Система двух уравнений второй степени
$\begin{cases} x^2 - y^2 = 0 \\ (x-a)^2 + y^2 = 1 \end{cases}$
имеет, вообще говоря, четыре решения. При каких значениях $a$ число решений этой суммы уменьшается до трех или до двух?
Решение:
Из первого уравнения системы немедленно получаем:
$у^2 = x^2$, $у = \pm x$.
Подставляя это значение $у^2$ во второе уравнение, находим:
$(x-a)^2 + x^2 = 1$ (*)
- квадратное уравнение, которое, вообще говоря, дает два значения $x$. Так как каждому значению $x$ отвечают два значения $у$, то всего система имеет четыре решения.
Число решений системы уменьшается до трех, если одно из значений $x$ равно нулю; нулевому значению $x$ (и только нулевому значению) соответствует единственное значение $у = 0$, а не два разных значения $у = \pm x$. Подставляя $x = 0$ в уравнение (*), получаем:
$a^2 = 1$, $а = \pm 1$;
только при этих значениях, $а$ система имеет три решения.
Число решений системы уменьшается до двух, если уравнение для $x$ имеет одно-единственное значение. Для того чтобы квадратное уравнение $(x-a)^2 + x^2 = 1$, или $2x^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0$, имело единственный корень (два совпадающих значения корня), надо, чтобы было
$a^2 - 2(a^2 - 1) = 0$, $a^2 = 2$, $a = \pm \sqrt{2}$;
при этих значениях $а$ система имеет два решения.
Система двух уравнений второй степени
$\begin{cases} x^2 - y^2 = 0 \\ (x-a)^2 + y^2 = 1 \end{cases}$
имеет, вообще говоря, четыре решения. При каких значениях $a$ число решений этой суммы уменьшается до трех или до двух?
Решение:
Из первого уравнения системы немедленно получаем:
$у^2 = x^2$, $у = \pm x$.
Подставляя это значение $у^2$ во второе уравнение, находим:
$(x-a)^2 + x^2 = 1$ (*)
- квадратное уравнение, которое, вообще говоря, дает два значения $x$. Так как каждому значению $x$ отвечают два значения $у$, то всего система имеет четыре решения.
Число решений системы уменьшается до трех, если одно из значений $x$ равно нулю; нулевому значению $x$ (и только нулевому значению) соответствует единственное значение $у = 0$, а не два разных значения $у = \pm x$. Подставляя $x = 0$ в уравнение (*), получаем:
$a^2 = 1$, $а = \pm 1$;
только при этих значениях, $а$ система имеет три решения.
Число решений системы уменьшается до двух, если уравнение для $x$ имеет одно-единственное значение. Для того чтобы квадратное уравнение $(x-a)^2 + x^2 = 1$, или $2x^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0$, имело единственный корень (два совпадающих значения корня), надо, чтобы было
$a^2 - 2(a^2 - 1) = 0$, $a^2 = 2$, $a = \pm \sqrt{2}$;
при этих значениях $а$ система имеет два решения.
