Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2958
2019-05-06 
Решить уравнение $x^3 - [x] = 3$, где, как обычно, $[x]$ - целая часть числах.
Решение:
Обозначим через $\{x \} = x - [x]$ так называемую дробную часть числа $x$; ясно, что $0 \leq \{x \} < 1$ и что $[x] = x = \{x \}$. Таким образом, наше уравнение можно переписать так:
$x^3 - (x - \{x \}) = 3$, или $x^3 - x = 3 - \{x \}$,
откуда следует, что $2 < x^3 - x \leq 3$. Но, очевидно, при $x \geq 2$ мы имеем $x^3 - x = x(x^2 - 1) \geq 2 (4-1) = 6 > 3$; при $x < - 1$ имеем $x^2 - 1 > 0$ и $x^3 - x = x(x^2 - 1) < 0 < 2$; при $x = - 1$ имеем $x^3 - x = 0 < 2$; при $-1 < x \leq 0$ имеем $x^3 - x \leq - x < 1$; при $0 < x \leq 1$ имеем $x^3 - x < x^3 \leq 1$. Поэтому должно быть $1 < x < 2$ и, значит, $[2] = 1$. А тогда исходное уравнение принимает вид:
$x^3 - 1 = 3$, откуда $x^3 = 4$ и $x = \sqrt [3]{4}$
- это и есть (единственное) решение задачи.
Ответ: $x = \sqrt [3]{4}$.
Решить уравнение $x^3 - [x] = 3$, где, как обычно, $[x]$ - целая часть числах.
Решение:
Обозначим через $\{x \} = x - [x]$ так называемую дробную часть числа $x$; ясно, что $0 \leq \{x \} < 1$ и что $[x] = x = \{x \}$. Таким образом, наше уравнение можно переписать так:
$x^3 - (x - \{x \}) = 3$, или $x^3 - x = 3 - \{x \}$,
откуда следует, что $2 < x^3 - x \leq 3$. Но, очевидно, при $x \geq 2$ мы имеем $x^3 - x = x(x^2 - 1) \geq 2 (4-1) = 6 > 3$; при $x < - 1$ имеем $x^2 - 1 > 0$ и $x^3 - x = x(x^2 - 1) < 0 < 2$; при $x = - 1$ имеем $x^3 - x = 0 < 2$; при $-1 < x \leq 0$ имеем $x^3 - x \leq - x < 1$; при $0 < x \leq 1$ имеем $x^3 - x < x^3 \leq 1$. Поэтому должно быть $1 < x < 2$ и, значит, $[2] = 1$. А тогда исходное уравнение принимает вид:
$x^3 - 1 = 3$, откуда $x^3 = 4$ и $x = \sqrt [3]{4}$
- это и есть (единственное) решение задачи.
Ответ: $x = \sqrt [3]{4}$.
